Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65956 / 44564
↖ ↑ ↗
← N 49.802541°
E  1.153565°		 ← 197.09 m → N 49.802541°
E  1.156311°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.800768°
E  1.153565°		 ← 197.10 m →
38 850 m²		 N 49.800768°
E  1.156311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503208160400391 y=0.340000152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503208160400391 × 217)
    floor (0.503208160400391 × 131072)
    floor (65956.5)     		tx = 65956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340000152587891 × 217)
    floor (0.340000152587891 × 131072)
    floor (44564.5)     		ty = 44564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65956 / 44564 ti = "17/65956/44564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65956/44564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65956 ÷ 217
    65956 ÷ 131072     		x = 0.503204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44564 ÷ 217
    44564 ÷ 131072     		y = 0.339996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503204345703125 × 2 - 1) × π
    0.00640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02013350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339996337890625 × 2 - 1) × π
    0.32000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00533265883182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02013350} λ = 0.02013350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00533265883182))-π/2
    2×atan(2.73281621708372)-π/2
    2×1.22000732368149-π/2
    2.44001464736297-1.57079632675     		φ = 0.86921832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02013350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.153565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86921832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.802541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65956 KachelY 44564 0.02013350 0.86921832 1.153565 49.802541
    Oben rechts KachelX + 1 65957 KachelY 44564 0.02018143 0.86921832 1.156311 49.802541
    Unten links KachelX 65956 KachelY + 1 44565 0.02013350 0.86918738 1.153565 49.800768
    Unten rechts KachelX + 1 65957 KachelY + 1 44565 0.02018143 0.86918738 1.156311 49.800768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86921832-0.86918738) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86921832-0.86918738) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02013350-0.02018143) × cos(0.86921832) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645423810820535 × 6371000     		do = 197.087925082501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02013350-0.02018143) × cos(0.86918738) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645447443246447 × 6371000     		du = 197.095141528051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86921832)-sin(0.86918738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645423810820535-0.645447443246447)×R²
    abs(0.02018143-0.02013350)×2.3632425912079e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3632425912079e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3632425912079e-05×40589641000000     		ar = 38850.43471286m²