Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65955 / 65693
↖ ↑ ↗
← S  0.431209°
E  1.150818°		 ← 305.42 m → S  0.431209°
E  1.153565°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.433956°
E  1.150818°		 ← 305.42 m →
93 282 m²		 S  0.433956°
E  1.153565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503200531005859 y=0.501201629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503200531005859 × 217)
    floor (0.503200531005859 × 131072)
    floor (65955.5)     		tx = 65955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501201629638672 × 217)
    floor (0.501201629638672 × 131072)
    floor (65693.5)     		ty = 65693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65955 / 65693 ti = "17/65955/65693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65955/65693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65955 ÷ 217
    65955 ÷ 131072     		x = 0.503196716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65693 ÷ 217
    65693 ÷ 131072     		y = 0.501197814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503196716308594 × 2 - 1) × π
    0.0063934326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02008556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.0023956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00752609324034882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02008556} λ = 0.02008556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00752609324034882))-π/2
    2×atan(0.992502156883933)-π/2
    2×0.781635152301235-π/2
    1.56327030460247-1.57079632675     		φ = -0.00752602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02008556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.150818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00752602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.431209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65955 KachelY 65693 0.02008556 -0.00752602 1.150818 -0.431209
    Oben rechts KachelX + 1 65956 KachelY 65693 0.02013350 -0.00752602 1.153565 -0.431209
    Unten links KachelX 65955 KachelY + 1 65694 0.02008556 -0.00757396 1.150818 -0.433956
    Unten rechts KachelX + 1 65956 KachelY + 1 65694 0.02013350 -0.00757396 1.153565 -0.433956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00752602--0.00757396) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00752602--0.00757396) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02008556-0.02013350) × cos(-0.00752602) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999971679645155 × 6371000     		do = 305.417090234663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02008556-0.02013350) × cos(-0.00757396) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999971317702073 × 6371000     		du = 305.416979687929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00752602)-sin(-0.00757396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999971679645155-0.999971317702073)×R²
    abs(0.02013350-0.02008556)×3.61943081950145e-07×R²
    4.79399999999998e-05×3.61943081950145e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×3.61943081950145e-07×40589641000000     		ar = 93282.2239295266m²