Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65955 / 44577
↖ ↑ ↗
← N 49.779491°
E  1.150818°		 ← 197.22 m → N 49.779491°
E  1.153565°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.777717°
E  1.150818°		 ← 197.23 m →
38 902 m²		 N 49.777717°
E  1.153565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503200531005859 y=0.340099334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503200531005859 × 217)
    floor (0.503200531005859 × 131072)
    floor (65955.5)     		tx = 65955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340099334716797 × 217)
    floor (0.340099334716797 × 131072)
    floor (44577.5)     		ty = 44577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65955 / 44577 ti = "17/65955/44577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65955/44577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65955 ÷ 217
    65955 ÷ 131072     		x = 0.503196716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44577 ÷ 217
    44577 ÷ 131072     		y = 0.340095520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503196716308594 × 2 - 1) × π
    0.0063934326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02008556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340095520019531 × 2 - 1) × π
    0.319808959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00470947913676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02008556} λ = 0.02008556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00470947913676))-π/2
    2×atan(2.73111371204529)-π/2
    2×1.21980616830906-π/2
    2.43961233661812-1.57079632675     		φ = 0.86881601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02008556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.150818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86881601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.779491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65955 KachelY 44577 0.02008556 0.86881601 1.150818 49.779491
    Oben rechts KachelX + 1 65956 KachelY 44577 0.02013350 0.86881601 1.153565 49.779491
    Unten links KachelX 65955 KachelY + 1 44578 0.02008556 0.86878505 1.150818 49.777717
    Unten rechts KachelX + 1 65956 KachelY + 1 44578 0.02013350 0.86878505 1.153565 49.777717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86881601-0.86878505) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86881601-0.86878505) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02008556-0.02013350) × cos(0.86881601) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645731052877422 × 6371000     		do = 197.222884666065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02008556-0.02013350) × cos(0.86878505) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.64575469253828 × 6371000     		du = 197.230104826976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86881601)-sin(0.86878505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645731052877422-0.64575469253828)×R²
    abs(0.02013350-0.02008556)×2.36396608572775e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36396608572775e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36396608572775e-05×40589641000000     		ar = 38902.1687422108m²