Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65953 / 44578
↖ ↑ ↗
← N 49.777717°
E  1.145325°		 ← 197.19 m → N 49.777717°
E  1.148071°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.775943°
E  1.145325°		 ← 197.20 m →
38 883 m²		 N 49.775943°
E  1.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503185272216797 y=0.340106964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503185272216797 × 217)
    floor (0.503185272216797 × 131072)
    floor (65953.5)     		tx = 65953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340106964111328 × 217)
    floor (0.340106964111328 × 131072)
    floor (44578.5)     		ty = 44578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65953 / 44578 ti = "17/65953/44578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65953/44578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65953 ÷ 217
    65953 ÷ 131072     		x = 0.503181457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44578 ÷ 217
    44578 ÷ 131072     		y = 0.340103149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503181457519531 × 2 - 1) × π
    0.0063629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01998969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340103149414062 × 2 - 1) × π
    0.319793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00466154223714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01998969} λ = 0.01998969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00466154223714))-π/2
    2×atan(2.73098279405935)-π/2
    2×1.21979069085347-π/2
    2.43958138170694-1.57079632675     		φ = 0.86878505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01998969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.145325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86878505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.777717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65953 KachelY 44578 0.01998969 0.86878505 1.145325 49.777717
    Oben rechts KachelX + 1 65954 KachelY 44578 0.02003762 0.86878505 1.148071 49.777717
    Unten links KachelX 65953 KachelY + 1 44579 0.01998969 0.86875410 1.145325 49.775943
    Unten rechts KachelX + 1 65954 KachelY + 1 44579 0.02003762 0.86875410 1.148071 49.775943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86878505-0.86875410) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86878505-0.86875410) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01998969-0.02003762) × cos(0.86878505) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.64575469253828 × 6371000     		do = 197.188963795507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01998969-0.02003762) × cos(0.86875410) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.645778323944918 × 6371000     		du = 197.19617992981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86878505)-sin(0.86875410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64575469253828-0.645778323944918)×R²
    abs(0.02003762-0.01998969)×2.36314066379695e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.36314066379695e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.36314066379695e-05×40589641000000     		ar = 38882.9144448563m²