Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65950 / 65706
↖ ↑ ↗
← S  0.466914°
E  1.137085°		 ← 305.35 m → S  0.466914°
E  1.139831°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.469660°
E  1.137085°		 ← 305.35 m →
93 262 m²		 S  0.469660°
E  1.139831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503162384033203 y=0.501300811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503162384033203 × 217)
    floor (0.503162384033203 × 131072)
    floor (65950.5)     		tx = 65950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501300811767578 × 217)
    floor (0.501300811767578 × 131072)
    floor (65706.5)     		ty = 65706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65950 / 65706 ti = "17/65950/65706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65950/65706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65950 ÷ 217
    65950 ÷ 131072     		x = 0.503158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65706 ÷ 217
    65706 ÷ 131072     		y = 0.501296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503158569335938 × 2 - 1) × π
    0.006317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01984588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.002593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00814927293540955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01984588} λ = 0.01984588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00814927293540955))-π/2
    2×atan(0.991883842372994)-π/2
    2×0.78132357202887-π/2
    1.56264714405774-1.57079632675     		φ = -0.00814918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01984588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.137085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00814918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.466914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65950 KachelY 65706 0.01984588 -0.00814918 1.137085 -0.466914
    Oben rechts KachelX + 1 65951 KachelY 65706 0.01989381 -0.00814918 1.139831 -0.466914
    Unten links KachelX 65950 KachelY + 1 65707 0.01984588 -0.00819712 1.137085 -0.469660
    Unten rechts KachelX + 1 65951 KachelY + 1 65707 0.01989381 -0.00819712 1.139831 -0.469660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00814918--0.00819712) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00814918--0.00819712) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(-0.00814918) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999966795616421 × 6371000     		do = 305.351890642035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(-0.00819712) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999966403799972 × 6371000     		du = 305.351770996169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00814918)-sin(-0.00819712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966795616421-0.999966403799972)×R²
    abs(0.01989381-0.01984588)×3.91816448730431e-07×R²
    4.79300000000016e-05×3.91816448730431e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.91816448730431e-07×40589641000000     		ar = 93262.3089061414m²