Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65950 / 65571
↖ ↑ ↗
← S  0.096130°
E  1.137085°		 ← 305.36 m → S  0.096130°
E  1.139831°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.098877°
E  1.137085°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.098877°
E  1.139831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503162384033203 y=0.500270843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503162384033203 × 217)
    floor (0.503162384033203 × 131072)
    floor (65950.5)     		tx = 65950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500270843505859 × 217)
    floor (0.500270843505859 × 131072)
    floor (65571.5)     		ty = 65571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65950 / 65571 ti = "17/65950/65571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65950/65571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65950 ÷ 217
    65950 ÷ 131072     		x = 0.503158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65571 ÷ 217
    65571 ÷ 131072     		y = 0.500267028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503158569335938 × 2 - 1) × π
    0.006317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01984588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500267028808594 × 2 - 1) × π
    -0.0005340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00167779148670197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01984588} λ = 0.01984588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00167779148670197))-π/2
    2×atan(0.998323615218605)-π/2
    2×0.784559268047677-π/2
    1.56911853609535-1.57079632675     		φ = -0.00167779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01984588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.137085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00167779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.096130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65950 KachelY 65571 0.01984588 -0.00167779 1.137085 -0.096130
    Oben rechts KachelX + 1 65951 KachelY 65571 0.01989381 -0.00167779 1.139831 -0.096130
    Unten links KachelX 65950 KachelY + 1 65572 0.01984588 -0.00172573 1.137085 -0.098877
    Unten rechts KachelX + 1 65951 KachelY + 1 65572 0.01989381 -0.00172573 1.139831 -0.098877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00167779--0.00172573) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00167779--0.00172573) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(-0.00167779) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999998592510688 × 6371000     		do = 305.361600206217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(-0.00172573) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999998510928353 × 6371000     		du = 305.361575294069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00167779)-sin(-0.00172573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998592510688-0.999998510928353)×R²
    abs(0.01989381-0.01984588)×8.15823349986644e-08×R²
    4.79300000000016e-05×8.15823349986644e-08×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.15823349986644e-08×40589641000000     		ar = 93265.2889240246m²