Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65950 / 44574
↖ ↑ ↗
← N 49.784811°
E  1.137085°		 ← 197.16 m → N 49.784811°
E  1.139831°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.783038°
E  1.137085°		 ← 197.17 m →
38 877 m²		 N 49.783038°
E  1.139831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503162384033203 y=0.340076446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503162384033203 × 217)
    floor (0.503162384033203 × 131072)
    floor (65950.5)     		tx = 65950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340076446533203 × 217)
    floor (0.340076446533203 × 131072)
    floor (44574.5)     		ty = 44574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65950 / 44574 ti = "17/65950/44574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65950/44574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65950 ÷ 217
    65950 ÷ 131072     		x = 0.503158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44574 ÷ 217
    44574 ÷ 131072     		y = 0.340072631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503158569335938 × 2 - 1) × π
    0.006317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01984588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340072631835938 × 2 - 1) × π
    0.319854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00485328983562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01984588} λ = 0.01984588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00485328983562))-π/2
    2×atan(2.73150650366003)-π/2
    2×1.2198525972768-π/2
    2.43970519455359-1.57079632675     		φ = 0.86890887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01984588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.137085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86890887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.784811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65950 KachelY 44574 0.01984588 0.86890887 1.137085 49.784811
    Oben rechts KachelX + 1 65951 KachelY 44574 0.01989381 0.86890887 1.139831 49.784811
    Unten links KachelX 65950 KachelY + 1 44575 0.01984588 0.86887792 1.137085 49.783038
    Unten rechts KachelX + 1 65951 KachelY + 1 44575 0.01989381 0.86887792 1.139831 49.783038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86890887-0.86887792) × R
    3.09500000000851e-05 × 6371000     		dl = 197.182450000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86890887-0.86887792) × R
    3.09500000000851e-05 × 6371000     		dr = 197.182450000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(0.86890887) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645660145453756 × 6371000     		do = 197.160092705861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01984588-0.01989381) × cos(0.86887792) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645683779334938 × 6371000     		du = 197.167309595795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86890887)-sin(0.86887792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645660145453756-0.645683779334938)×R²
    abs(0.01989381-0.01984588)×2.36338811820946e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36338811820946e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36338811820946e-05×40589641000000     		ar = 38877.2216472006m²