Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65949 / 65573
↖ ↑ ↗
← S  0.101623°
E  1.134338°		 ← 305.43 m → S  0.101623°
E  1.137085°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.104370°
E  1.134338°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 S  0.104370°
E  1.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503154754638672 y=0.500286102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503154754638672 × 217)
    floor (0.503154754638672 × 131072)
    floor (65949.5)     		tx = 65949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500286102294922 × 217)
    floor (0.500286102294922 × 131072)
    floor (65573.5)     		ty = 65573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65949 / 65573 ti = "17/65949/65573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65949/65573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65949 ÷ 217
    65949 ÷ 131072     		x = 0.503150939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65573 ÷ 217
    65573 ÷ 131072     		y = 0.500282287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503150939941406 × 2 - 1) × π
    0.0063018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01979794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500282287597656 × 2 - 1) × π
    -0.0005645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00177366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01979794} λ = 0.01979794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00177366528594208))-π/2
    2×atan(0.998227906728784)-π/2
    2×0.784511331219456-π/2
    1.56902266243891-1.57079632675     		φ = -0.00177366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01979794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.134338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00177366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.101623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65949 KachelY 65573 0.01979794 -0.00177366 1.134338 -0.101623
    Oben rechts KachelX + 1 65950 KachelY 65573 0.01984588 -0.00177366 1.137085 -0.101623
    Unten links KachelX 65949 KachelY + 1 65574 0.01979794 -0.00182160 1.134338 -0.104370
    Unten rechts KachelX + 1 65950 KachelY + 1 65574 0.01984588 -0.00182160 1.137085 -0.104370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00177366--0.00182160) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00177366--0.00182160) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01979794-0.01984588) × cos(-0.00177366) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999998427065515 × 6371000     		do = 305.425259585319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01979794-0.01984588) × cos(-0.00182160) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999998340887179 × 6371000     		du = 305.425233264237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00177366)-sin(-0.00182160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998427065515-0.999998340887179)×R²
    abs(0.01984588-0.01979794)×8.61783358008239e-08×R²
    4.79399999999998e-05×8.61783358008239e-08×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.61783358008239e-08×40589641000000     		ar = 93284.731921836m²