Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65942 / 65814
↖ ↑ ↗
← S  0.763527°
E  1.115112°		 ← 305.40 m → S  0.763527°
E  1.117859°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.766274°
E  1.115112°		 ← 305.40 m →
93 277 m²		 S  0.766274°
E  1.117859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503101348876953 y=0.502124786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503101348876953 × 217)
    floor (0.503101348876953 × 131072)
    floor (65942.5)     		tx = 65942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502124786376953 × 217)
    floor (0.502124786376953 × 131072)
    floor (65814.5)     		ty = 65814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65942 / 65814 ti = "17/65942/65814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65942/65814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65942 ÷ 217
    65942 ÷ 131072     		x = 0.503097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65814 ÷ 217
    65814 ÷ 131072     		y = 0.502120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503097534179688 × 2 - 1) × π
    0.006195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01946238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.004241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0133264580943756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01946238} λ = 0.01946238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0133264580943756))-π/2
    2×atan(0.986761946008047)-π/2
    2×0.77873513156696-π/2
    1.55747026313392-1.57079632675     		φ = -0.01332606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01946238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.115112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01332606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.763527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65942 KachelY 65814 0.01946238 -0.01332606 1.115112 -0.763527
    Oben rechts KachelX + 1 65943 KachelY 65814 0.01951032 -0.01332606 1.117859 -0.763527
    Unten links KachelX 65942 KachelY + 1 65815 0.01946238 -0.01337400 1.115112 -0.766274
    Unten rechts KachelX + 1 65943 KachelY + 1 65815 0.01951032 -0.01337400 1.117859 -0.766274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01332606--0.01337400) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01332606--0.01337400) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01946238-0.01951032) × cos(-0.01332606) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999911209376432 × 6371000     		do = 305.39862105809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01946238-0.01951032) × cos(-0.01337400) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999910569395004 × 6371000     		du = 305.398425591289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01332606)-sin(-0.01337400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999911209376432-0.999910569395004)×R²
    abs(0.01951032-0.01946238)×6.39981427741354e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.39981427741354e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.39981427741354e-07×40589641000000     		ar = 93276.5699992155m²