Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6594 / 7618
↖ ↑ ↗
← S 82.320646°
E109.775390°		 ← 652.98 m → S 82.320646°
E109.819336°		 →
↑
652.71 m
↓
↑
652.71 m
↓
S 82.326516°
E109.775390°		 ← 652.48 m →
426 042 m²		 S 82.326516°
E109.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80499267578125 y=0.92999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80499267578125 × 213)
    floor (0.80499267578125 × 8192)
    floor (6594.5)     		tx = 6594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92999267578125 × 213)
    floor (0.92999267578125 × 8192)
    floor (7618.5)     		ty = 7618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6594 / 7618 ti = "13/6594/7618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6594/7618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6594 ÷ 213
    6594 ÷ 8192     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7618 ÷ 213
    7618 ÷ 8192     		y = 0.929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.85986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7013401673894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7013401673894))-π/2
    2×atan(0.0671155064284207)-π/2
    2×0.0670150041797052-π/2
    0.13403000835941-1.57079632675     		φ = -1.43676632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43676632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.320646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6594 KachelY 7618 1.91594200 -1.43676632 109.775390 -82.320646
    Oben rechts KachelX + 1 6595 KachelY 7618 1.91670899 -1.43676632 109.819336 -82.320646
    Unten links KachelX 6594 KachelY + 1 7619 1.91594200 -1.43686877 109.775390 -82.326516
    Unten rechts KachelX + 1 6595 KachelY + 1 7619 1.91670899 -1.43686877 109.819336 -82.326516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43676632--1.43686877) × R
    0.000102449999999976 × 6371000     		dl = 652.708949999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43676632--1.43686877) × R
    0.000102449999999976 × 6371000     		dr = 652.708949999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91670899) × cos(-1.43676632) × R
    0.000766990000000023 × 0.133629080282757 × 6371000     		do = 652.977604150584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91670899) × cos(-1.43686877) × R
    0.000766990000000023 × 0.133527548413007 × 6371000     		du = 652.481469350331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43676632)-sin(-1.43686877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133629080282757-0.133527548413007)×R²
    abs(1.91670899-1.91594200)×0.000101531869749705×R²
    0.000766990000000023×0.000101531869749705×6371000²
    0.000766990000000023×0.000101531869749705×40589641000000     		ar = 426042.410938563m²