Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65938 / 65810
↖ ↑ ↗
← S  0.752542°
E  1.104126°		 ← 305.40 m → S  0.752542°
E  1.106873°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.755288°
E  1.104126°		 ← 305.40 m →
93 277 m²		 S  0.755288°
E  1.106873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503070831298828 y=0.502094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503070831298828 × 217)
    floor (0.503070831298828 × 131072)
    floor (65938.5)     		tx = 65938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502094268798828 × 217)
    floor (0.502094268798828 × 131072)
    floor (65810.5)     		ty = 65810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65938 / 65810 ti = "17/65938/65810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65938/65810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65938 ÷ 217
    65938 ÷ 131072     		x = 0.503067016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65810 ÷ 217
    65810 ÷ 131072     		y = 0.502090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503067016601562 × 2 - 1) × π
    0.006134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01927063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.004180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0131347104958954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01927063} λ = 0.01927063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0131347104958954))-π/2
    2×atan(0.986951173382834)-π/2
    2×0.77883099697539-π/2
    1.55766199395078-1.57079632675     		φ = -0.01313433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01927063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.104126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01313433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.752542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65938 KachelY 65810 0.01927063 -0.01313433 1.104126 -0.752542
    Oben rechts KachelX + 1 65939 KachelY 65810 0.01931857 -0.01313433 1.106873 -0.752542
    Unten links KachelX 65938 KachelY + 1 65811 0.01927063 -0.01318227 1.104126 -0.755288
    Unten rechts KachelX + 1 65939 KachelY + 1 65811 0.01931857 -0.01318227 1.106873 -0.755288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01313433--0.01318227) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01313433--0.01318227) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01927063-0.01931857) × cos(-0.01313433) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999913745927715 × 6371000     		do = 305.399395786143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01927063-0.01931857) × cos(-0.01318227) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999913115137016 × 6371000     		du = 305.399203126427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01313433)-sin(-0.01318227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999913745927715-0.999913115137016)×R²
    abs(0.01931857-0.01927063)×6.3079069889671e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.3079069889671e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.3079069889671e-07×40589641000000     		ar = 93276.8070497806m²