Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65937 / 44433
↖ ↑ ↗
← N 50.034209°
E  1.101380°		 ← 196.14 m → N 50.034209°
E  1.104126°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 50.032445°
E  1.101380°		 ← 196.15 m →
38 477 m²		 N 50.032445°
E  1.104126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503063201904297 y=0.339000701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503063201904297 × 217)
    floor (0.503063201904297 × 131072)
    floor (65937.5)     		tx = 65937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339000701904297 × 217)
    floor (0.339000701904297 × 131072)
    floor (44433.5)     		ty = 44433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65937 / 44433 ti = "17/65937/44433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65937/44433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65937 ÷ 217
    65937 ÷ 131072     		x = 0.503059387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44433 ÷ 217
    44433 ÷ 131072     		y = 0.338996887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503059387207031 × 2 - 1) × π
    0.0061187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01922270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338996887207031 × 2 - 1) × π
    0.322006225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01161239268205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01922270} λ = 0.01922270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01161239268205))-π/2
    2×atan(2.75003157294105)-π/2
    2×1.22202901052438-π/2
    2.44405802104876-1.57079632675     		φ = 0.87326169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01922270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.101380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87326169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.034209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65937 KachelY 44433 0.01922270 0.87326169 1.101380 50.034209
    Oben rechts KachelX + 1 65938 KachelY 44433 0.01927063 0.87326169 1.104126 50.034209
    Unten links KachelX 65937 KachelY + 1 44434 0.01922270 0.87323090 1.101380 50.032445
    Unten rechts KachelX + 1 65938 KachelY + 1 44434 0.01927063 0.87323090 1.104126 50.032445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87326169-0.87323090) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dl = 196.163089999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87326169-0.87323090) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dr = 196.163089999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01922270-0.01927063) × cos(0.87326169) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642330117579953 × 6371000     		do = 196.143228634359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01922270-0.01927063) × cos(0.87323090) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642353715596426 × 6371000     		du = 196.150434572574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87326169)-sin(0.87323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642330117579953-0.642353715596426)×R²
    abs(0.01927063-0.01922270)×2.35980164734473e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35980164734473e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35980164734473e-05×40589641000000     		ar = 38476.7685840602m²