Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65936 / 48018
N 43.289202°
E  1.098633°
← 222.32 m → N 43.289202°
E  1.101380°

222.28 m

222.28 m
N 43.287203°
E  1.098633°
← 222.33 m →
49 419 m²
N 43.287203°
E  1.101380°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503055572509766 y=0.366352081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503055572509766 × 217)
    floor (0.503055572509766 × 131072)
    floor (65936.5)
    tx = 65936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366352081298828 × 217)
    floor (0.366352081298828 × 131072)
    floor (48018.5)
    ty = 48018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65936 / 48018 ti = "17/65936/48018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65936/48018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65936 ÷ 217
    65936 ÷ 131072
    x = 0.5030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48018 ÷ 217
    48018 ÷ 131072
    y = 0.366348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5030517578125 × 2 - 1) × π
    0.006103515625 × 3.1415926535
    Λ = 0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.366348266601562 × 2 - 1) × π
    0.267303466796875 × 3.1415926535
    Φ = 0.839758607544144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01917476} λ = 0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839758607544144))-π/2
    2×atan(2.31580789075019)-π/2
    2×1.16316771577186-π/2
    2.32633543154372-1.57079632675
    φ = 0.75553910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75553910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.289202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65936 KachelY 48018 0.01917476 0.75553910 1.098633 43.289202
    Oben rechts KachelX + 1 65937 KachelY 48018 0.01922270 0.75553910 1.101380 43.289202
    Unten links KachelX 65936 KachelY + 1 48019 0.01917476 0.75550421 1.098633 43.287203
    Unten rechts KachelX + 1 65937 KachelY + 1 48019 0.01922270 0.75550421 1.101380 43.287203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.75553910-0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000
    dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.75553910-0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000
    dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.01917476-0.01922270) × cos(0.75553910) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727901998250966 × 6371000
    do = 222.320006463279m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.01917476-0.01922270) × cos(0.75550421) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727925921224298 × 6371000
    du = 222.327313155112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.75553910)-sin(0.75550421))×
    abs(λ12)×abs(0.727901998250966-0.727925921224298)×
    abs(0.01922270-0.01917476)×2.39229733319801e-05×
    4.79399999999998e-05×2.39229733319801e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39229733319801e-05×40589641000000
    ar = 49419.0346435066m²