Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65922 / 47996
↖ ↑ ↗
← N 43.333169°
E  1.060180°		 ← 222.16 m → N 43.333169°
E  1.062927°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 43.331171°
E  1.060180°		 ← 222.17 m →
49 355 m²		 N 43.331171°
E  1.062927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502948760986328 y=0.366184234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502948760986328 × 217)
    floor (0.502948760986328 × 131072)
    floor (65922.5)     		tx = 65922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366184234619141 × 217)
    floor (0.366184234619141 × 131072)
    floor (47996.5)     		ty = 47996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65922 / 47996 ti = "17/65922/47996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65922/47996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65922 ÷ 217
    65922 ÷ 131072     		x = 0.502944946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47996 ÷ 217
    47996 ÷ 131072     		y = 0.366180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502944946289062 × 2 - 1) × π
    0.005889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01850364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366180419921875 × 2 - 1) × π
    0.26763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01850364} λ = 0.01850364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840813219335785))-π/2
    2×atan(2.31825145733954)-π/2
    2×1.16355140400326-π/2
    2.32710280800651-1.57079632675     		φ = 0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01850364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.060180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65922 KachelY 47996 0.01850364 0.75630648 1.060180 43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 65923 KachelY 47996 0.01855158 0.75630648 1.062927 43.333169
    Unten links KachelX 65922 KachelY + 1 47997 0.01850364 0.75627161 1.060180 43.331171
    Unten rechts KachelX + 1 65923 KachelY + 1 47997 0.01855158 0.75627161 1.062927 43.331171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75630648-0.75627161) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75630648-0.75627161) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01850364-0.01855158) × cos(0.75630648) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		do = 222.159232707669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01850364-0.01855158) × cos(0.75627161) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.727399534689035 × 6371000     		du = 222.166541158069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75630648)-sin(0.75627161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727375605957945-0.727399534689035)×R²
    abs(0.01855158-0.01850364)×2.39287310895842e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39287310895842e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39287310895842e-05×40589641000000     		ar = 49354.9893798883m²