Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65920 / 47997
↖ ↑ ↗
← N 43.331171°
E  1.054688°		 ← 222.17 m → N 43.331171°
E  1.057434°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 43.329174°
E  1.054688°		 ← 222.17 m →
49 357 m²		 N 43.329174°
E  1.057434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502933502197266 y=0.366191864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502933502197266 × 217)
    floor (0.502933502197266 × 131072)
    floor (65920.5)     		tx = 65920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366191864013672 × 217)
    floor (0.366191864013672 × 131072)
    floor (47997.5)     		ty = 47997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65920 / 47997 ti = "17/65920/47997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65920/47997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65920 ÷ 217
    65920 ÷ 131072     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47997 ÷ 217
    47997 ÷ 131072     		y = 0.366188049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366188049316406 × 2 - 1) × π
    0.267623901367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.840765282436165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840765282436165))-π/2
    2×atan(2.3181403302157)-π/2
    2×1.16353396965081-π/2
    2.32706793930163-1.57079632675     		φ = 0.75627161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75627161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.331171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65920 KachelY 47997 0.01840777 0.75627161 1.054688 43.331171
    Oben rechts KachelX + 1 65921 KachelY 47997 0.01845571 0.75627161 1.057434 43.331171
    Unten links KachelX 65920 KachelY + 1 47998 0.01840777 0.75623674 1.054688 43.329174
    Unten rechts KachelX + 1 65921 KachelY + 1 47998 0.01845571 0.75623674 1.057434 43.329174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75627161-0.75623674) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75627161-0.75623674) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01845571) × cos(0.75627161) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727399534689035 × 6371000     		do = 222.166541158053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01845571) × cos(0.75623674) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727423462535667 × 6371000     		du = 222.173849338317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75627161)-sin(0.75623674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727399534689035-0.727423462535667)×R²
    abs(0.01845571-0.01840777)×2.39278466321879e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39278466321879e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39278466321879e-05×40589641000000     		ar = 49356.6129716556m²