Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65913 / 65721
↖ ↑ ↗
← S  0.508111°
E  1.035461°		 ← 305.41 m → S  0.508111°
E  1.038208°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.510858°
E  1.035461°		 ← 305.41 m →
93 281 m²		 S  0.510858°
E  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502880096435547 y=0.501415252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502880096435547 × 217)
    floor (0.502880096435547 × 131072)
    floor (65913.5)     		tx = 65913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501415252685547 × 217)
    floor (0.501415252685547 × 131072)
    floor (65721.5)     		ty = 65721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65913 / 65721 ti = "17/65913/65721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65913/65721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65913 ÷ 217
    65913 ÷ 131072     		x = 0.502876281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65721 ÷ 217
    65721 ÷ 131072     		y = 0.501411437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502876281738281 × 2 - 1) × π
    0.0057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01807221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501411437988281 × 2 - 1) × π
    -0.0028228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00886832642971039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01807221} λ = 0.01807221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00886832642971039))-π/2
    2×atan(0.991170881189529)-π/2
    2×0.780964058303881-π/2
    1.56192811660776-1.57079632675     		φ = -0.00886821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01807221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.035461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00886821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.508111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65913 KachelY 65721 0.01807221 -0.00886821 1.035461 -0.508111
    Oben rechts KachelX + 1 65914 KachelY 65721 0.01812015 -0.00886821 1.038208 -0.508111
    Unten links KachelX 65913 KachelY + 1 65722 0.01807221 -0.00891615 1.035461 -0.510858
    Unten rechts KachelX + 1 65914 KachelY + 1 65722 0.01812015 -0.00891615 1.038208 -0.510858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00886821--0.00891615) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00886821--0.00891615) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01807221-0.01812015) × cos(-0.00886821) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999960677683408 × 6371000     		do = 305.413729952377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01807221-0.01812015) × cos(-0.00891615) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999960251397917 × 6371000     		du = 305.413599753816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00886821)-sin(-0.00891615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999960677683408-0.999960251397917)×R²
    abs(0.01812015-0.01807221)×4.26285491350598e-07×R²
    4.79400000000033e-05×4.26285491350598e-07×6371000²
    4.79400000000033e-05×4.26285491350598e-07×40589641000000     		ar = 93281.194611735m²