Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6591 / 7615
↖ ↑ ↗
← S 82.303009°
E109.643555°		 ← 654.47 m → S 82.303009°
E109.687500°		 →
↑
654.24 m
↓
↑
654.24 m
↓
S 82.308893°
E109.643555°		 ← 653.97 m →
428 015 m²		 S 82.308893°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80462646484375 y=0.92962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80462646484375 × 213)
    floor (0.80462646484375 × 8192)
    floor (6591.5)     		tx = 6591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92962646484375 × 213)
    floor (0.92962646484375 × 8192)
    floor (7615.5)     		ty = 7615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6591 / 7615 ti = "13/6591/7615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6591/7615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6591 ÷ 213
    6591 ÷ 8192     		x = 0.8045654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7615 ÷ 213
    7615 ÷ 8192     		y = 0.9295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8045654296875 × 2 - 1) × π
    0.609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91364103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69903919620764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91364103} λ = 1.91364103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69903919620764))-π/2
    2×atan(0.0672701150813751)-π/2
    2×0.0671689179311918-π/2
    0.134337835862384-1.57079632675     		φ = -1.43645849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91364103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43645849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.303009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6591 KachelY 7615 1.91364103 -1.43645849 109.643555 -82.303009
    Oben rechts KachelX + 1 6592 KachelY 7615 1.91440802 -1.43645849 109.687500 -82.303009
    Unten links KachelX 6591 KachelY + 1 7616 1.91364103 -1.43656118 109.643555 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 6592 KachelY + 1 7616 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43645849--1.43656118) × R
    0.000102690000000072 × 6371000     		dl = 654.237990000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43645849--1.43656118) × R
    0.000102690000000072 × 6371000     		dr = 654.237990000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91364103-1.91440802) × cos(-1.43645849) × R
    0.000766990000000023 × 0.133934143147645 × 6371000     		do = 654.468291792886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91364103-1.91440802) × cos(-1.43656118) × R
    0.000766990000000023 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 653.971015393174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43645849)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133934143147645-0.133832377654437)×R²
    abs(1.91440802-1.91364103)×0.000101765493207617×R²
    0.000766990000000023×0.000101765493207617×6371000²
    0.000766990000000023×0.000101765493207617×40589641000000     		ar = 428015.351563496m²