Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65905 / 44434
↖ ↑ ↗
← N 50.032445°
E  1.013489°		 ← 196.15 m → N 50.032445°
E  1.016235°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 50.030681°
E  1.013489°		 ← 196.16 m →
38 478 m²		 N 50.030681°
E  1.016235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502819061279297 y=0.339008331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502819061279297 × 217)
    floor (0.502819061279297 × 131072)
    floor (65905.5)     		tx = 65905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339008331298828 × 217)
    floor (0.339008331298828 × 131072)
    floor (44434.5)     		ty = 44434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65905 / 44434 ti = "17/65905/44434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65905/44434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65905 ÷ 217
    65905 ÷ 131072     		x = 0.502815246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44434 ÷ 217
    44434 ÷ 131072     		y = 0.339004516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502815246582031 × 2 - 1) × π
    0.0056304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01768872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339004516601562 × 2 - 1) × π
    0.321990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01156445578243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01768872} λ = 0.01768872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01156445578243))-π/2
    2×atan(2.74989974811325)-π/2
    2×1.22201361458445-π/2
    2.4440272291689-1.57079632675     		φ = 0.87323090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01768872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.013489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87323090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.032445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65905 KachelY 44434 0.01768872 0.87323090 1.013489 50.032445
    Oben rechts KachelX + 1 65906 KachelY 44434 0.01773665 0.87323090 1.016235 50.032445
    Unten links KachelX 65905 KachelY + 1 44435 0.01768872 0.87320011 1.013489 50.030681
    Unten rechts KachelX + 1 65906 KachelY + 1 44435 0.01773665 0.87320011 1.016235 50.030681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87323090-0.87320011) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87323090-0.87320011) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01768872-0.01773665) × cos(0.87323090) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.642353715596426 × 6371000     		do = 196.15043457256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01768872-0.01773665) × cos(0.87320011) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.642377313003933 × 6371000     		du = 196.157640324819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87323090)-sin(0.87320011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642353715596426-0.642377313003933)×R²
    abs(0.01773665-0.01768872)×2.35974075069034e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.35974075069034e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.35974075069034e-05×40589641000000     		ar = 38478.1821049775m²