Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65902 / 65837
↖ ↑ ↗
← S  0.826693°
E  1.005249°		 ← 305.33 m → S  0.826693°
E  1.007995°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.829439°
E  1.005249°		 ← 305.33 m →
93 236 m²		 S  0.829439°
E  1.007995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502796173095703 y=0.502300262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502796173095703 × 217)
    floor (0.502796173095703 × 131072)
    floor (65902.5)     		tx = 65902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502300262451172 × 217)
    floor (0.502300262451172 × 131072)
    floor (65837.5)     		ty = 65837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65902 / 65837 ti = "17/65902/65837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65902/65837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65902 ÷ 217
    65902 ÷ 131072     		x = 0.502792358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65837 ÷ 217
    65837 ÷ 131072     		y = 0.502296447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502792358398438 × 2 - 1) × π
    0.005584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01754491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502296447753906 × 2 - 1) × π
    -0.0045928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0144290067856369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01754491} λ = 0.01754491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0144290067856369))-π/2
    2×atan(0.985674592456158)-π/2
    2×0.778183910330344-π/2
    1.55636782066069-1.57079632675     		φ = -0.01442851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01754491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.005249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01442851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.826693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65902 KachelY 65837 0.01754491 -0.01442851 1.005249 -0.826693
    Oben rechts KachelX + 1 65903 KachelY 65837 0.01759284 -0.01442851 1.007995 -0.826693
    Unten links KachelX 65902 KachelY + 1 65838 0.01754491 -0.01447644 1.005249 -0.829439
    Unten rechts KachelX + 1 65903 KachelY + 1 65838 0.01759284 -0.01447644 1.007995 -0.829439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01442851--0.01447644) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01442851--0.01447644) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01754491-0.01759284) × cos(-0.01442851) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999895910855398 × 6371000     		do = 305.330245127491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01754491-0.01759284) × cos(-0.01447644) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999895218172386 × 6371000     		du = 305.330033608401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01442851)-sin(-0.01447644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999895910855398-0.999895218172386)×R²
    abs(0.01759284-0.01754491)×6.9268301217118e-07×R²
    4.79299999999981e-05×6.9268301217118e-07×6371000²
    4.79299999999981e-05×6.9268301217118e-07×40589641000000     		ar = 93236.23119543m²