Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65898 / 44777
↖ ↑ ↗
← N 49.423481°
E  0.994263°		 ← 198.63 m → N 49.423481°
E  0.997009°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.421694°
E  0.994263°		 ← 198.63 m →
39 470 m²		 N 49.421694°
E  0.997009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502765655517578 y=0.341625213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502765655517578 × 217)
    floor (0.502765655517578 × 131072)
    floor (65898.5)     		tx = 65898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341625213623047 × 217)
    floor (0.341625213623047 × 131072)
    floor (44777.5)     		ty = 44777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65898 / 44777 ti = "17/65898/44777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65898/44777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65898 ÷ 217
    65898 ÷ 131072     		x = 0.502761840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44777 ÷ 217
    44777 ÷ 131072     		y = 0.341621398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502761840820312 × 2 - 1) × π
    0.005523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01735316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341621398925781 × 2 - 1) × π
    0.316757202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.995122099212746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01735316} λ = 0.01735316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995122099212746))-π/2
    2×atan(2.70505460615435)-π/2
    2×1.21669939589942-π/2
    2.43339879179884-1.57079632675     		φ = 0.86260247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01735316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.994263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86260247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.423481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65898 KachelY 44777 0.01735316 0.86260247 0.994263 49.423481
    Oben rechts KachelX + 1 65899 KachelY 44777 0.01740109 0.86260247 0.997009 49.423481
    Unten links KachelX 65898 KachelY + 1 44778 0.01735316 0.86257128 0.994263 49.421694
    Unten rechts KachelX + 1 65899 KachelY + 1 44778 0.01740109 0.86257128 0.997009 49.421694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86260247-0.86257128) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86260247-0.86257128) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01735316-0.01740109) × cos(0.86260247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65046299842636 × 6371000     		do = 198.626701639367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01735316-0.01740109) × cos(0.86257128) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.650486688098425 × 6371000     		du = 198.633935565719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86260247)-sin(0.86257128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65046299842636-0.650486688098425)×R²
    abs(0.01740109-0.01735316)×2.36896720647861e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36896720647861e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36896720647861e-05×40589641000000     		ar = 39470.1265717656m²