Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65895 / 44778
↖ ↑ ↗
← N 49.421694°
E  0.986023°		 ← 198.63 m → N 49.421694°
E  0.988769°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
N 49.419907°
E  0.986023°		 ← 198.64 m →
39 459 m²		 N 49.419907°
E  0.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502742767333984 y=0.341632843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502742767333984 × 217)
    floor (0.502742767333984 × 131072)
    floor (65895.5)     		tx = 65895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341632843017578 × 217)
    floor (0.341632843017578 × 131072)
    floor (44778.5)     		ty = 44778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65895 / 44778 ti = "17/65895/44778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65895/44778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65895 ÷ 217
    65895 ÷ 131072     		x = 0.502738952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44778 ÷ 217
    44778 ÷ 131072     		y = 0.341629028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502738952636719 × 2 - 1) × π
    0.0054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01720935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341629028320312 × 2 - 1) × π
    0.316741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995074162313126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01720935} λ = 0.01720935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995074162313126))-π/2
    2×atan(2.70492493733121)-π/2
    2×1.21668380502577-π/2
    2.43336761005154-1.57079632675     		φ = 0.86257128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01720935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.986023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86257128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.421694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65895 KachelY 44778 0.01720935 0.86257128 0.986023 49.421694
    Oben rechts KachelX + 1 65896 KachelY 44778 0.01725728 0.86257128 0.988769 49.421694
    Unten links KachelX 65895 KachelY + 1 44779 0.01720935 0.86254010 0.986023 49.419907
    Unten rechts KachelX + 1 65896 KachelY + 1 44779 0.01725728 0.86254010 0.988769 49.419907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86257128-0.86254010) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86257128-0.86254010) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01720935-0.01725728) × cos(0.86257128) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.650486688098425 × 6371000     		do = 198.633935565704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01720935-0.01725728) × cos(0.86254010) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.650510369542712 × 6371000     		du = 198.641166979605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86257128)-sin(0.86254010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650486688098425-0.650510369542712)×R²
    abs(0.01725728-0.01720935)×2.36814442871047e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.36814442871047e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.36814442871047e-05×40589641000000     		ar = 39458.9085880581m²