Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65886 / 44638
↖ ↑ ↗
← N 49.671183°
E  0.961303°		 ← 197.66 m → N 49.671183°
E  0.964050°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.669405°
E  0.961303°		 ← 197.67 m →
39 077 m²		 N 49.669405°
E  0.964050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502674102783203 y=0.340564727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502674102783203 × 217)
    floor (0.502674102783203 × 131072)
    floor (65886.5)     		tx = 65886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340564727783203 × 217)
    floor (0.340564727783203 × 131072)
    floor (44638.5)     		ty = 44638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65886 / 44638 ti = "17/65886/44638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65886/44638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65886 ÷ 217
    65886 ÷ 131072     		x = 0.502670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44638 ÷ 217
    44638 ÷ 131072     		y = 0.340560913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502670288085938 × 2 - 1) × π
    0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340560913085938 × 2 - 1) × π
    0.318878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00178532825993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01677791} λ = 0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00178532825993))-π/2
    2×atan(2.72313918852676)-π/2
    2×1.21886100658258-π/2
    2.43772201316517-1.57079632675     		φ = 0.86692569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86692569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.671183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65886 KachelY 44638 0.01677791 0.86692569 0.961303 49.671183
    Oben rechts KachelX + 1 65887 KachelY 44638 0.01682585 0.86692569 0.964050 49.671183
    Unten links KachelX 65886 KachelY + 1 44639 0.01677791 0.86689466 0.961303 49.669405
    Unten rechts KachelX + 1 65887 KachelY + 1 44639 0.01682585 0.86689466 0.964050 49.669405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86692569-0.86689466) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86692569-0.86689466) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01677791-0.01682585) × cos(0.86692569) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647173280384336 × 6371000     		do = 197.663378069612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01677791-0.01682585) × cos(0.86689466) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647196935573926 × 6371000     		du = 197.670602973398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86692569)-sin(0.86689466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647173280384336-0.647196935573926)×R²
    abs(0.01682585-0.01677791)×2.36551895905768e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36551895905768e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36551895905768e-05×40589641000000     		ar = 39077.2083899085m²