Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65853 / 43836
↖ ↑ ↗
← N 51.075920°
E  0.870667°		 ← 191.86 m → N 51.075920°
E  0.873413°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.074194°
E  0.870667°		 ← 191.86 m →
36 817 m²		 N 51.074194°
E  0.873413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502422332763672 y=0.334445953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502422332763672 × 217)
    floor (0.502422332763672 × 131072)
    floor (65853.5)     		tx = 65853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334445953369141 × 217)
    floor (0.334445953369141 × 131072)
    floor (43836.5)     		ty = 43836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65853 / 43836 ti = "17/65853/43836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65853/43836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65853 ÷ 217
    65853 ÷ 131072     		x = 0.502418518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43836 ÷ 217
    43836 ÷ 131072     		y = 0.334442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502418518066406 × 2 - 1) × π
    0.0048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01519600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334442138671875 × 2 - 1) × π
    0.33111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04023072175522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01519600} λ = 0.01519600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04023072175522))-π/2
    2×atan(2.82986985157598)-π/2
    2×1.23111964767121-π/2
    2.46223929534242-1.57079632675     		φ = 0.89144297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01519600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.870667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89144297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.075920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65853 KachelY 43836 0.01519600 0.89144297 0.870667 51.075920
    Oben rechts KachelX + 1 65854 KachelY 43836 0.01524393 0.89144297 0.873413 51.075920
    Unten links KachelX 65853 KachelY + 1 43837 0.01519600 0.89141285 0.870667 51.074194
    Unten rechts KachelX + 1 65854 KachelY + 1 43837 0.01524393 0.89141285 0.873413 51.074194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89144297-0.89141285) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89144297-0.89141285) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01519600-0.01524393) × cos(0.89144297) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.628290080474366 × 6371000     		do = 191.855934402515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01519600-0.01524393) × cos(0.89141285) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.628313512921691 × 6371000     		du = 191.863089782198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89144297)-sin(0.89141285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628290080474366-0.628313512921691)×R²
    abs(0.01524393-0.01519600)×2.34324473253888e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.34324473253888e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.34324473253888e-05×40589641000000     		ar = 36816.7889829621m²