Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65830 / 48098
↖ ↑ ↗
← N 43.129053°
E  0.807495°		 ← 222.90 m → N 43.129053°
E  0.810242°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
N 43.127048°
E  0.807495°		 ← 222.91 m →
49 691 m²		 N 43.127048°
E  0.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502246856689453 y=0.366962432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502246856689453 × 217)
    floor (0.502246856689453 × 131072)
    floor (65830.5)     		tx = 65830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366962432861328 × 217)
    floor (0.366962432861328 × 131072)
    floor (48098.5)     		ty = 48098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65830 / 48098 ti = "17/65830/48098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65830/48098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65830 ÷ 217
    65830 ÷ 131072     		x = 0.502243041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48098 ÷ 217
    48098 ÷ 131072     		y = 0.366958618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502243041992188 × 2 - 1) × π
    0.004486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01409345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366958618164062 × 2 - 1) × π
    0.266082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.835923655574539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01409345} λ = 0.01409345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835923655574539))-π/2
    2×atan(2.30694388609785)-π/2
    2×1.16177014630623-π/2
    2.32354029261246-1.57079632675     		φ = 0.75274397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01409345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.807495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75274397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.129053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65830 KachelY 48098 0.01409345 0.75274397 0.807495 43.129053
    Oben rechts KachelX + 1 65831 KachelY 48098 0.01414139 0.75274397 0.810242 43.129053
    Unten links KachelX 65830 KachelY + 1 48099 0.01409345 0.75270898 0.807495 43.127048
    Unten rechts KachelX + 1 65831 KachelY + 1 48099 0.01414139 0.75270898 0.810242 43.127048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75274397-0.75270898) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dl = 222.921290000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75274397-0.75270898) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dr = 222.921290000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01409345-0.01414139) × cos(0.75274397) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		do = 222.904506447179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01409345-0.01414139) × cos(0.75270898) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729839640589878 × 6371000     		du = 222.911812308497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75274397)-sin(0.75270898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729815720335751-0.729839640589878)×R²
    abs(0.01414139-0.01409345)×2.39202541272299e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39202541272299e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39202541272299e-05×40589641000000     		ar = 49690.9744450031m²