Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65823 / 48415
↖ ↑ ↗
← N 42.490327°
E  0.788269°		 ← 225.22 m → N 42.490327°
E  0.791016°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
N 42.488302°
E  0.788269°		 ← 225.23 m →
50 723 m²		 N 42.488302°
E  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502193450927734 y=0.369380950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502193450927734 × 217)
    floor (0.502193450927734 × 131072)
    floor (65823.5)     		tx = 65823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369380950927734 × 217)
    floor (0.369380950927734 × 131072)
    floor (48415.5)     		ty = 48415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65823 / 48415 ti = "17/65823/48415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65823/48415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65823 ÷ 217
    65823 ÷ 131072     		x = 0.502189636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48415 ÷ 217
    48415 ÷ 131072     		y = 0.369377136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502189636230469 × 2 - 1) × π
    0.0043792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01375789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369377136230469 × 2 - 1) × π
    0.261245727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.820727658394981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01375789} λ = 0.01375789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820727658394981))-π/2
    2×atan(2.27215258704559)-π/2
    2×1.15619621936605-π/2
    2.31239243873211-1.57079632675     		φ = 0.74159611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01375789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.788269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74159611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.490327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65823 KachelY 48415 0.01375789 0.74159611 0.788269 42.490327
    Oben rechts KachelX + 1 65824 KachelY 48415 0.01380583 0.74159611 0.791016 42.490327
    Unten links KachelX 65823 KachelY + 1 48416 0.01375789 0.74156076 0.788269 42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 65824 KachelY + 1 48416 0.01380583 0.74156076 0.791016 42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74159611-0.74156076) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74159611-0.74156076) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01375789-0.01380583) × cos(0.74159611) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.737391380859009 × 6371000     		do = 225.218308168484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01375789-0.01380583) × cos(0.74156076) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 225.225600896088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74159611)-sin(0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737391380859009-0.737415258111804)×R²
    abs(0.01380583-0.01375789)×2.3877252794624e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3877252794624e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3877252794624e-05×40589641000000     		ar = 50723.3287120237m²