Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65821 / 48417
↖ ↑ ↗
← N 42.486276°
E  0.782776°		 ← 225.19 m → N 42.486276°
E  0.785522°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
N 42.484251°
E  0.782776°		 ← 225.19 m →
50 716 m²		 N 42.484251°
E  0.785522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502178192138672 y=0.369396209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502178192138672 × 217)
    floor (0.502178192138672 × 131072)
    floor (65821.5)     		tx = 65821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369396209716797 × 217)
    floor (0.369396209716797 × 131072)
    floor (48417.5)     		ty = 48417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65821 / 48417 ti = "17/65821/48417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65821/48417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65821 ÷ 217
    65821 ÷ 131072     		x = 0.502174377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48417 ÷ 217
    48417 ÷ 131072     		y = 0.369392395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502174377441406 × 2 - 1) × π
    0.0043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01366202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369392395019531 × 2 - 1) × π
    0.261215209960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.820631784595741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01366202} λ = 0.01366202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820631784595741))-π/2
    2×atan(2.27193475758686)-π/2
    2×1.15616086996495-π/2
    2.3123217399299-1.57079632675     		φ = 0.74152541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01366202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.782776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74152541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.486276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65821 KachelY 48417 0.01366202 0.74152541 0.782776 42.486276
    Oben rechts KachelX + 1 65822 KachelY 48417 0.01370995 0.74152541 0.785522 42.486276
    Unten links KachelX 65821 KachelY + 1 48418 0.01366202 0.74149006 0.782776 42.484251
    Unten rechts KachelX + 1 65822 KachelY + 1 48418 0.01370995 0.74149006 0.785522 42.484251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74152541-0.74149006) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dl = 225.214850000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74152541-0.74149006) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dr = 225.214850000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01366202-0.01370995) × cos(0.74152541) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.737439134443108 × 6371000     		do = 225.18591109499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01366202-0.01370995) × cos(0.74149006) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.737463009852891 × 6371000     		du = 225.193201738588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74152541)-sin(0.74149006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737439134443108-0.737463009852891)×R²
    abs(0.01370995-0.01366202)×2.3875409783547e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3875409783547e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3875409783547e-05×40589641000000     		ar = 50716.0321754403m²