Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65820 / 65780
↖ ↑ ↗
← S  0.670151°
E  0.780029°		 ← 305.40 m → S  0.670151°
E  0.782776°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.672897°
E  0.780029°		 ← 305.40 m →
93 259 m²		 S  0.672897°
E  0.782776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502170562744141 y=0.501865386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502170562744141 × 217)
    floor (0.502170562744141 × 131072)
    floor (65820.5)     		tx = 65820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501865386962891 × 217)
    floor (0.501865386962891 × 131072)
    floor (65780.5)     		ty = 65780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65820 / 65780 ti = "17/65820/65780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65820/65780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65820 ÷ 217
    65820 ÷ 131072     		x = 0.502166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65780 ÷ 217
    65780 ÷ 131072     		y = 0.501861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502166748046875 × 2 - 1) × π
    0.00433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01361408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01361408} λ = 0.01361408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(0.988371535834474)-π/2
    2×0.779549994990788-π/2
    1.55909998998158-1.57079632675     		φ = -0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01361408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.780029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65820 KachelY 65780 0.01361408 -0.01169634 0.780029 -0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 65821 KachelY 65780 0.01366202 -0.01169634 0.782776 -0.670151
    Unten links KachelX 65820 KachelY + 1 65781 0.01361408 -0.01174427 0.780029 -0.672897
    Unten rechts KachelX + 1 65821 KachelY + 1 65781 0.01366202 -0.01174427 0.782776 -0.672897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01169634--0.01174427) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01169634--0.01174427) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01361408-0.01366202) × cos(-0.01169634) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 305.404848450293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01361408-0.01366202) × cos(-0.01174427) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999931036853751 × 6371000     		du = 305.404676880023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01169634)-sin(-0.01174427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.999931036853751)×R²
    abs(0.01366202-0.01361408)×5.6174135776299e-07×R²
    4.79399999999998e-05×5.6174135776299e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.6174135776299e-07×40589641000000     		ar = 93259.0183169545m²