Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65804 / 43900
↖ ↑ ↗
← N 50.965346°
E  0.736084°		 ← 192.35 m → N 50.965346°
E  0.738831°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
N 50.963617°
E  0.736084°		 ← 192.36 m →
36 998 m²		 N 50.963617°
E  0.738831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502048492431641 y=0.334934234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502048492431641 × 217)
    floor (0.502048492431641 × 131072)
    floor (65804.5)     		tx = 65804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334934234619141 × 217)
    floor (0.334934234619141 × 131072)
    floor (43900.5)     		ty = 43900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65804 / 43900 ti = "17/65804/43900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65804/43900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65804 ÷ 217
    65804 ÷ 131072     		x = 0.502044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43900 ÷ 217
    43900 ÷ 131072     		y = 0.334930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502044677734375 × 2 - 1) × π
    0.00408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01284709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334930419921875 × 2 - 1) × π
    0.33013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03716276017954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01284709} λ = 0.01284709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03716276017954))-π/2
    2×atan(2.82120122391483)-π/2
    2×1.23015471225399-π/2
    2.46030942450799-1.57079632675     		φ = 0.88951310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01284709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.736084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88951310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.965346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65804 KachelY 43900 0.01284709 0.88951310 0.736084 50.965346
    Oben rechts KachelX + 1 65805 KachelY 43900 0.01289503 0.88951310 0.738831 50.965346
    Unten links KachelX 65804 KachelY + 1 43901 0.01284709 0.88948291 0.736084 50.963617
    Unten rechts KachelX + 1 65805 KachelY + 1 43901 0.01289503 0.88948291 0.738831 50.963617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88951310-0.88948291) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dl = 192.340489999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88951310-0.88948291) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dr = 192.340489999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01284709-0.01289503) × cos(0.88951310) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.629790308184758 × 6371000     		do = 192.354170922157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01284709-0.01289503) × cos(0.88948291) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.629813758438976 × 6371000     		du = 192.361333233405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88951310)-sin(0.88948291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629790308184758-0.629813758438976)×R²
    abs(0.01289503-0.01284709)×2.34502542180159e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.34502542180159e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.34502542180159e-05×40589641000000     		ar = 36998.1842926618m²