Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65802 / 48386
↖ ↑ ↗
← N 42.549034°
E  0.730591°		 ← 224.96 m → N 42.549034°
E  0.733337°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
N 42.547010°
E  0.730591°		 ← 224.97 m →
50 622 m²		 N 42.547010°
E  0.733337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502033233642578 y=0.369159698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502033233642578 × 217)
    floor (0.502033233642578 × 131072)
    floor (65802.5)     		tx = 65802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369159698486328 × 217)
    floor (0.369159698486328 × 131072)
    floor (48386.5)     		ty = 48386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65802 / 48386 ti = "17/65802/48386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65802/48386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65802 ÷ 217
    65802 ÷ 131072     		x = 0.502029418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48386 ÷ 217
    48386 ÷ 131072     		y = 0.369155883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502029418945312 × 2 - 1) × π
    0.004058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01275122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369155883789062 × 2 - 1) × π
    0.261688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.822117828483963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01275122} λ = 0.01275122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822117828483963))-π/2
    2×atan(2.27531346217769)-π/2
    2×1.15670852842633-π/2
    2.31341705685265-1.57079632675     		φ = 0.74262073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01275122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.730591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74262073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.549034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65802 KachelY 48386 0.01275122 0.74262073 0.730591 42.549034
    Oben rechts KachelX + 1 65803 KachelY 48386 0.01279915 0.74262073 0.733337 42.549034
    Unten links KachelX 65802 KachelY + 1 48387 0.01275122 0.74258541 0.730591 42.547010
    Unten rechts KachelX + 1 65803 KachelY + 1 48387 0.01279915 0.74258541 0.733337 42.547010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74262073-0.74258541) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dl = 225.02371999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74262073-0.74258541) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dr = 225.02371999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01275122-0.01279915) × cos(0.74262073) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.736698898210856 × 6371000     		do = 224.95987105643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01275122-0.01279915) × cos(0.74258541) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.736722781874247 × 6371000     		du = 224.967164220367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74262073)-sin(0.74258541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736698898210856-0.736722781874247)×R²
    abs(0.01279915-0.01275122)×2.38836633915662e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38836633915662e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38836633915662e-05×40589641000000     		ar = 50622.1276084432m²