Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65801 / 48382
↖ ↑ ↗
← N 42.557127°
E  0.727844°		 ← 224.98 m → N 42.557127°
E  0.730591°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 42.555104°
E  0.727844°		 ← 224.98 m →
50 612 m²		 N 42.555104°
E  0.730591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502025604248047 y=0.369129180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502025604248047 × 217)
    floor (0.502025604248047 × 131072)
    floor (65801.5)     		tx = 65801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369129180908203 × 217)
    floor (0.369129180908203 × 131072)
    floor (48382.5)     		ty = 48382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65801 / 48382 ti = "17/65801/48382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65801/48382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65801 ÷ 217
    65801 ÷ 131072     		x = 0.502021789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48382 ÷ 217
    48382 ÷ 131072     		y = 0.369125366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502021789550781 × 2 - 1) × π
    0.0040435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01270328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369125366210938 × 2 - 1) × π
    0.261749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.822309576082443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01270328} λ = 0.01270328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822309576082443))-π/2
    2×atan(2.27574978990091)-π/2
    2×1.15677915396947-π/2
    2.31355830793894-1.57079632675     		φ = 0.74276198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01270328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.727844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74276198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.557127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65801 KachelY 48382 0.01270328 0.74276198 0.727844 42.557127
    Oben rechts KachelX + 1 65802 KachelY 48382 0.01275122 0.74276198 0.730591 42.557127
    Unten links KachelX 65801 KachelY + 1 48383 0.01270328 0.74272667 0.727844 42.555104
    Unten rechts KachelX + 1 65802 KachelY + 1 48383 0.01275122 0.74272667 0.730591 42.555104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74276198-0.74272667) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74276198-0.74272667) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01270328-0.01275122) × cos(0.74276198) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736603374657 × 6371000     		do = 224.977630791111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01270328-0.01275122) × cos(0.74272667) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736627255232578 × 6371000     		du = 224.984924533578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74276198)-sin(0.74272667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736603374657-0.736627255232578)×R²
    abs(0.01275122-0.01270328)×2.38805755773397e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38805755773397e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38805755773397e-05×40589641000000     		ar = 50611.7904779291m²