Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65799 / 48383
↖ ↑ ↗
← N 42.555104°
E  0.722351°		 ← 224.98 m → N 42.555104°
E  0.725098°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 42.553080°
E  0.722351°		 ← 224.99 m →
50 613 m²		 N 42.553080°
E  0.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502010345458984 y=0.369136810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502010345458984 × 217)
    floor (0.502010345458984 × 131072)
    floor (65799.5)     		tx = 65799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369136810302734 × 217)
    floor (0.369136810302734 × 131072)
    floor (48383.5)     		ty = 48383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65799 / 48383 ti = "17/65799/48383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65799/48383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65799 ÷ 217
    65799 ÷ 131072     		x = 0.502006530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48383 ÷ 217
    48383 ÷ 131072     		y = 0.369132995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502006530761719 × 2 - 1) × π
    0.0040130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01260740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369132995605469 × 2 - 1) × π
    0.261734008789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.822261639182823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01260740} λ = 0.01260740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822261639182823))-π/2
    2×atan(2.2756407001264)-π/2
    2×1.15676149844227-π/2
    2.31352299688455-1.57079632675     		φ = 0.74272667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01260740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.722351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74272667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.555104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65799 KachelY 48383 0.01260740 0.74272667 0.722351 42.555104
    Oben rechts KachelX + 1 65800 KachelY 48383 0.01265534 0.74272667 0.725098 42.555104
    Unten links KachelX 65799 KachelY + 1 48384 0.01260740 0.74269136 0.722351 42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 65800 KachelY + 1 48384 0.01265534 0.74269136 0.725098 42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74272667-0.74269136) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74272667-0.74269136) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01260740-0.01265534) × cos(0.74272667) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736627255232578 × 6371000     		do = 224.984924533578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01260740-0.01265534) × cos(0.74269136) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 224.992217995535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74272667)-sin(0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736627255232578-0.736651134889731)×R²
    abs(0.01265534-0.01260740)×2.38796571533362e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38796571533362e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38796571533362e-05×40589641000000     		ar = 50613.4312468333m²