Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65791 / 48385
↖ ↑ ↗
← N 42.551057°
E  0.700378°		 ← 225 m → N 42.551057°
E  0.703125°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 42.549034°
E  0.700378°		 ← 225.01 m →
50 617 m²		 N 42.549034°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501949310302734 y=0.369152069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501949310302734 × 217)
    floor (0.501949310302734 × 131072)
    floor (65791.5)     		tx = 65791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369152069091797 × 217)
    floor (0.369152069091797 × 131072)
    floor (48385.5)     		ty = 48385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65791 / 48385 ti = "17/65791/48385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65791/48385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65791 ÷ 217
    65791 ÷ 131072     		x = 0.501945495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48385 ÷ 217
    48385 ÷ 131072     		y = 0.369148254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501945495605469 × 2 - 1) × π
    0.0038909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01222391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369148254394531 × 2 - 1) × π
    0.261703491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.822165765383583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01222391} λ = 0.01222391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822165765383583))-π/2
    2×atan(2.27542253626504)-π/2
    2×1.1567261856707-π/2
    2.3134523713414-1.57079632675     		φ = 0.74265604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01222391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.700378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74265604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.551057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65791 KachelY 48385 0.01222391 0.74265604 0.700378 42.551057
    Oben rechts KachelX + 1 65792 KachelY 48385 0.01227185 0.74265604 0.703125 42.551057
    Unten links KachelX 65791 KachelY + 1 48386 0.01222391 0.74262073 0.700378 42.549034
    Unten rechts KachelX + 1 65792 KachelY + 1 48386 0.01227185 0.74262073 0.703125 42.549034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74265604-0.74262073) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74265604-0.74262073) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01222391-0.01227185) × cos(0.74265604) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.7366750203909 × 6371000     		do = 224.999513242413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01222391-0.01227185) × cos(0.74262073) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.736698898210856 × 6371000     		du = 225.006806143242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74265604)-sin(0.74262073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7366750203909-0.736698898210856)×R²
    abs(0.01227185-0.01222391)×2.3877819955942e-05×R²
    4.79400000000015e-05×2.3877819955942e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×2.3877819955942e-05×40589641000000     		ar = 50616.7130598715m²