Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65786 / 48408
↖ ↑ ↗
← N 42.504503°
E  0.686645°		 ← 225.17 m → N 42.504503°
E  0.689392°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 42.502478°
E  0.686645°		 ← 225.17 m →
50 697 m²		 N 42.502478°
E  0.689392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501911163330078 y=0.369327545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501911163330078 × 217)
    floor (0.501911163330078 × 131072)
    floor (65786.5)     		tx = 65786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369327545166016 × 217)
    floor (0.369327545166016 × 131072)
    floor (48408.5)     		ty = 48408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65786 / 48408 ti = "17/65786/48408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65786/48408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65786 ÷ 217
    65786 ÷ 131072     		x = 0.501907348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48408 ÷ 217
    48408 ÷ 131072     		y = 0.36932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501907348632812 × 2 - 1) × π
    0.003814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01198422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36932373046875 × 2 - 1) × π
    0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01198422} λ = 0.01198422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821063216692322))-π/2
    2×atan(2.27291515463479)-π/2
    2×1.1563199242428-π/2
    2.3126398484856-1.57079632675     		φ = 0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01198422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.686645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65786 KachelY 48408 0.01198422 0.74184352 0.686645 42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 65787 KachelY 48408 0.01203216 0.74184352 0.689392 42.504503
    Unten links KachelX 65786 KachelY + 1 48409 0.01198422 0.74180818 0.686645 42.502478
    Unten rechts KachelX + 1 65787 KachelY + 1 48409 0.01203216 0.74180818 0.689392 42.502478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74184352-0.74180818) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74184352-0.74180818) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01198422-0.01203216) × cos(0.74184352) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 225.167259449919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01198422-0.01203216) × cos(0.74180818) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73724811826127 × 6371000     		du = 225.174552083555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74184352)-sin(0.74180818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.73724811826127)×R²
    abs(0.01203216-0.01198422)×2.38769451307297e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38769451307297e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38769451307297e-05×40589641000000     		ar = 50697.4861333666m²