Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65784 / 48410
↖ ↑ ↗
← N 42.500453°
E  0.681152°		 ← 225.18 m → N 42.500453°
E  0.683899°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 42.498428°
E  0.681152°		 ← 225.19 m →
50 701 m²		 N 42.498428°
E  0.683899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501895904541016 y=0.369342803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501895904541016 × 217)
    floor (0.501895904541016 × 131072)
    floor (65784.5)     		tx = 65784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369342803955078 × 217)
    floor (0.369342803955078 × 131072)
    floor (48410.5)     		ty = 48410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65784 / 48410 ti = "17/65784/48410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65784/48410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65784 ÷ 217
    65784 ÷ 131072     		x = 0.50189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48410 ÷ 217
    48410 ÷ 131072     		y = 0.369338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50189208984375 × 2 - 1) × π
    0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369338989257812 × 2 - 1) × π
    0.261322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.820967342893082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01188835} λ = 0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820967342893082))-π/2
    2×atan(2.2726972520693)-π/2
    2×1.15628458285379-π/2
    2.31256916570758-1.57079632675     		φ = 0.74177284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74177284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.500453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65784 KachelY 48410 0.01188835 0.74177284 0.681152 42.500453
    Oben rechts KachelX + 1 65785 KachelY 48410 0.01193629 0.74177284 0.683899 42.500453
    Unten links KachelX 65784 KachelY + 1 48411 0.01188835 0.74173750 0.681152 42.498428
    Unten rechts KachelX + 1 65785 KachelY + 1 48411 0.01193629 0.74173750 0.683899 42.498428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74177284-0.74173750) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74177284-0.74173750) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01188835-0.01193629) × cos(0.74177284) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73727199428564 × 6371000     		do = 225.181844435966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01188835-0.01193629) × cos(0.74173750) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73729586938922 × 6371000     		du = 225.189136507145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74177284)-sin(0.74173750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73727199428564-0.73729586938922)×R²
    abs(0.01193629-0.01188835)×2.38751035795959e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38751035795959e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38751035795959e-05×40589641000000     		ar = 50700.769896332m²