Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65782 / 67826
↖ ↑ ↗
← S  6.277078°
E  0.675659°		 ← 303.53 m → S  6.277078°
E  0.678406°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.279808°
E  0.675659°		 ← 303.53 m →
92 145 m²		 S  6.279808°
E  0.678406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501880645751953 y=0.517475128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501880645751953 × 217)
    floor (0.501880645751953 × 131072)
    floor (65782.5)     		tx = 65782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517475128173828 × 217)
    floor (0.517475128173828 × 131072)
    floor (67826.5)     		ty = 67826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65782 / 67826 ti = "17/65782/67826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65782/67826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65782 ÷ 217
    65782 ÷ 131072     		x = 0.501876831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67826 ÷ 217
    67826 ÷ 131072     		y = 0.517471313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501876831054688 × 2 - 1) × π
    0.003753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01179248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517471313476562 × 2 - 1) × π
    -0.034942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.109775500129929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01179248} λ = 0.01179248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109775500129929))-π/2
    2×atan(0.896035272520303)-π/2
    2×0.730620321317237-π/2
    1.46124064263447-1.57079632675     		φ = -0.10955568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01179248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.675659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10955568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.277078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65782 KachelY 67826 0.01179248 -0.10955568 0.675659 -6.277078
    Oben rechts KachelX + 1 65783 KachelY 67826 0.01184041 -0.10955568 0.678406 -6.277078
    Unten links KachelX 65782 KachelY + 1 67827 0.01179248 -0.10960333 0.675659 -6.279808
    Unten rechts KachelX + 1 65783 KachelY + 1 67827 0.01184041 -0.10960333 0.678406 -6.279808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10955568--0.10960333) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10955568--0.10960333) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01179248-0.01184041) × cos(-0.10955568) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994004776536185 × 6371000     		do = 303.531316392796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01179248-0.01184041) × cos(-0.10960333) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9939995655161 × 6371000     		du = 303.529725145124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10955568)-sin(-0.10960333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994004776536185-0.9939995655161)×R²
    abs(0.01184041-0.01179248)×5.21102008499419e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.21102008499419e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.21102008499419e-06×40589641000000     		ar = 92145.2339809814m²