Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65781 / 48398
↖ ↑ ↗
← N 42.524748°
E  0.672913°		 ← 225.09 m → N 42.524748°
E  0.675659°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
N 42.522724°
E  0.672913°		 ← 225.10 m →
50 667 m²		 N 42.522724°
E  0.675659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501873016357422 y=0.369251251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501873016357422 × 217)
    floor (0.501873016357422 × 131072)
    floor (65781.5)     		tx = 65781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369251251220703 × 217)
    floor (0.369251251220703 × 131072)
    floor (48398.5)     		ty = 48398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65781 / 48398 ti = "17/65781/48398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65781/48398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65781 ÷ 217
    65781 ÷ 131072     		x = 0.501869201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48398 ÷ 217
    48398 ÷ 131072     		y = 0.369247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501869201660156 × 2 - 1) × π
    0.0037384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01174454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369247436523438 × 2 - 1) × π
    0.261505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.821542585688522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01174454} λ = 0.01174454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821542585688522))-π/2
    2×atan(2.2740049808845)-π/2
    2×1.15649659684879-π/2
    2.31299319369758-1.57079632675     		φ = 0.74219687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01174454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.672913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74219687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.524748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65781 KachelY 48398 0.01174454 0.74219687 0.672913 42.524748
    Oben rechts KachelX + 1 65782 KachelY 48398 0.01179248 0.74219687 0.675659 42.524748
    Unten links KachelX 65781 KachelY + 1 48399 0.01174454 0.74216154 0.672913 42.522724
    Unten rechts KachelX + 1 65782 KachelY + 1 48399 0.01179248 0.74216154 0.675659 42.522724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74219687-0.74216154) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74219687-0.74216154) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01174454-0.01179248) × cos(0.74219687) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736985455024987 × 6371000     		do = 225.094327970242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01174454-0.01179248) × cos(0.74216154) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.737009334415956 × 6371000     		du = 225.1016213509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74219687)-sin(0.74216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736985455024987-0.737009334415956)×R²
    abs(0.01179248-0.01174454)×2.38793909692614e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38793909692614e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38793909692614e-05×40589641000000     		ar = 50666.7246198663m²