Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65778 / 67834
↖ ↑ ↗
← S  6.298919°
E  0.664673°		 ← 303.58 m → S  6.298919°
E  0.667420°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.301649°
E  0.664673°		 ← 303.58 m →
92 161 m²		 S  6.301649°
E  0.667420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501850128173828 y=0.517536163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501850128173828 × 217)
    floor (0.501850128173828 × 131072)
    floor (65778.5)     		tx = 65778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517536163330078 × 217)
    floor (0.517536163330078 × 131072)
    floor (67834.5)     		ty = 67834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65778 / 67834 ti = "17/65778/67834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65778/67834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65778 ÷ 217
    65778 ÷ 131072     		x = 0.501846313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67834 ÷ 217
    67834 ÷ 131072     		y = 0.517532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501846313476562 × 2 - 1) × π
    0.003692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01160073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.035064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110158995326889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01160073} λ = 0.01160073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110158995326889))-π/2
    2×atan(0.895691713177874)-π/2
    2×0.730429727289001-π/2
    1.460859454578-1.57079632675     		φ = -0.10993687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01160073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10993687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.298919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65778 KachelY 67834 0.01160073 -0.10993687 0.664673 -6.298919
    Oben rechts KachelX + 1 65779 KachelY 67834 0.01164867 -0.10993687 0.667420 -6.298919
    Unten links KachelX 65778 KachelY + 1 67835 0.01160073 -0.10998452 0.664673 -6.301649
    Unten rechts KachelX + 1 65779 KachelY + 1 67835 0.01164867 -0.10998452 0.667420 -6.301649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10993687--0.10998452) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10993687--0.10998452) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01160073-0.01164867) × cos(-0.10993687) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.993963026280169 × 6371000     		do = 303.581892834259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01160073-0.01164867) × cos(-0.10998452) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.993957797205703 × 6371000     		du = 303.58029574032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10993687)-sin(-0.10998452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993963026280169-0.993957797205703)×R²
    abs(0.01164867-0.01160073)×5.22907446665055e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.22907446665055e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.22907446665055e-06×40589641000000     		ar = 92160.5869961498m²