Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65778 / 67832
↖ ↑ ↗
← S  6.293459°
E  0.664673°		 ← 303.59 m → S  6.293459°
E  0.667420°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
S  6.296189°
E  0.664673°		 ← 303.58 m →
92 142 m²		 S  6.296189°
E  0.667420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501850128173828 y=0.517520904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501850128173828 × 217)
    floor (0.501850128173828 × 131072)
    floor (65778.5)     		tx = 65778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517520904541016 × 217)
    floor (0.517520904541016 × 131072)
    floor (67832.5)     		ty = 67832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65778 / 67832 ti = "17/65778/67832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65778/67832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65778 ÷ 217
    65778 ÷ 131072     		x = 0.501846313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67832 ÷ 217
    67832 ÷ 131072     		y = 0.51751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501846313476562 × 2 - 1) × π
    0.003692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01160073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.110063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01160073} λ = 0.01160073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110063121527649))-π/2
    2×atan(0.895777590661999)-π/2
    2×0.730477375045334-π/2
    1.46095475009067-1.57079632675     		φ = -0.10984158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01160073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10984158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.293459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65778 KachelY 67832 0.01160073 -0.10984158 0.664673 -6.293459
    Oben rechts KachelX + 1 65779 KachelY 67832 0.01164867 -0.10984158 0.667420 -6.293459
    Unten links KachelX 65778 KachelY + 1 67833 0.01160073 -0.10988922 0.664673 -6.296189
    Unten rechts KachelX + 1 65779 KachelY + 1 67833 0.01164867 -0.10988922 0.667420 -6.296189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10984158--0.10988922) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10984158--0.10988922) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01160073-0.01164867) × cos(-0.10984158) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.993973476562436 × 6371000     		do = 303.585084619453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01160073-0.01164867) × cos(-0.10988922) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.993968253097821 × 6371000     		du = 303.583489238908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10984158)-sin(-0.10988922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993973476562436-0.993968253097821)×R²
    abs(0.01164867-0.01160073)×5.2234646156224e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.2234646156224e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.2234646156224e-06×40589641000000     		ar = 92142.2148575242m²