Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65775 / 67822
↖ ↑ ↗
← S  6.266158°
E  0.656433°		 ← 303.60 m → S  6.266158°
E  0.659180°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.268888°
E  0.656433°		 ← 303.60 m →
92 166 m²		 S  6.268888°
E  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501827239990234 y=0.517444610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501827239990234 × 217)
    floor (0.501827239990234 × 131072)
    floor (65775.5)     		tx = 65775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517444610595703 × 217)
    floor (0.517444610595703 × 131072)
    floor (67822.5)     		ty = 67822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65775 / 67822 ti = "17/65775/67822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65775/67822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65775 ÷ 217
    65775 ÷ 131072     		x = 0.501823425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67822 ÷ 217
    67822 ÷ 131072     		y = 0.517440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501823425292969 × 2 - 1) × π
    0.0036468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01145692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.034881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.109583752531448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01145692} λ = 0.01145692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109583752531448))-π/2
    2×atan(0.896207101605343)-π/2
    2×0.730715621329987-π/2
    1.46143124265997-1.57079632675     		φ = -0.10936508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01145692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.656433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10936508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.266158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65775 KachelY 67822 0.01145692 -0.10936508 0.656433 -6.266158
    Oben rechts KachelX + 1 65776 KachelY 67822 0.01150486 -0.10936508 0.659180 -6.266158
    Unten links KachelX 65775 KachelY + 1 67823 0.01145692 -0.10941273 0.656433 -6.268888
    Unten rechts KachelX + 1 65776 KachelY + 1 67823 0.01150486 -0.10941273 0.659180 -6.268888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10936508--0.10941273) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10936508--0.10941273) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01145692-0.01150486) × cos(-0.10936508) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994025598047304 × 6371000     		do = 303.601003862539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01145692-0.01150486) × cos(-0.10941273) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994020396054931 × 6371000     		du = 303.599415040169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10936508)-sin(-0.10941273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994025598047304-0.994020396054931)×R²
    abs(0.01150486-0.01145692)×5.20199237319385e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.20199237319385e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.20199237319385e-06×40589641000000     		ar = 92166.3899423024m²