Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65774 / 67825
↖ ↑ ↗
← S  6.274348°
E  0.653686°		 ← 303.60 m → S  6.274348°
E  0.656433°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.277078°
E  0.653686°		 ← 303.59 m →
92 165 m²		 S  6.277078°
E  0.656433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501819610595703 y=0.517467498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501819610595703 × 217)
    floor (0.501819610595703 × 131072)
    floor (65774.5)     		tx = 65774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517467498779297 × 217)
    floor (0.517467498779297 × 131072)
    floor (67825.5)     		ty = 67825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65774 / 67825 ti = "17/65774/67825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65774/67825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65774 ÷ 217
    65774 ÷ 131072     		x = 0.501815795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67825 ÷ 217
    67825 ÷ 131072     		y = 0.517463684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501815795898438 × 2 - 1) × π
    0.003631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01140898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517463684082031 × 2 - 1) × π
    -0.0349273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.109727563230309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01140898} λ = 0.01140898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109727563230309))-π/2
    2×atan(0.896078226702755)-π/2
    2×0.730644146133251-π/2
    1.4612882922665-1.57079632675     		φ = -0.10950803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01140898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.653686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10950803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.274348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65774 KachelY 67825 0.01140898 -0.10950803 0.653686 -6.274348
    Oben rechts KachelX + 1 65775 KachelY 67825 0.01145692 -0.10950803 0.656433 -6.274348
    Unten links KachelX 65774 KachelY + 1 67826 0.01140898 -0.10955568 0.653686 -6.277078
    Unten rechts KachelX + 1 65775 KachelY + 1 67826 0.01145692 -0.10955568 0.656433 -6.277078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10950803--0.10955568) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10950803--0.10955568) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01140898-0.01145692) × cos(-0.10950803) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994009985299359 × 6371000     		do = 303.596235327445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01140898-0.01145692) × cos(-0.10955568) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994004776536185 × 6371000     		du = 303.594644437097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10950803)-sin(-0.10955568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994009985299359-0.994004776536185)×R²
    abs(0.01145692-0.01140898)×5.20876317477992e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.20876317477992e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.20876317477992e-06×40589641000000     		ar = 92164.9420053306m²