Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65773 / 67821
↖ ↑ ↗
← S  6.263427°
E  0.650940°		 ← 303.54 m → S  6.263427°
E  0.653686°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.266158°
E  0.650940°		 ← 303.54 m →
92 148 m²		 S  6.266158°
E  0.653686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501811981201172 y=0.517436981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501811981201172 × 217)
    floor (0.501811981201172 × 131072)
    floor (65773.5)     		tx = 65773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517436981201172 × 217)
    floor (0.517436981201172 × 131072)
    floor (67821.5)     		ty = 67821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65773 / 67821 ti = "17/65773/67821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65773/67821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65773 ÷ 217
    65773 ÷ 131072     		x = 0.501808166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67821 ÷ 217
    67821 ÷ 131072     		y = 0.517433166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501808166503906 × 2 - 1) × π
    0.0036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01136105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517433166503906 × 2 - 1) × π
    -0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.109535815631828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01136105} λ = 0.01136105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109535815631828))-π/2
    2×atan(0.896250064024946)-π/2
    2×0.730739446644953-π/2
    1.46147889328991-1.57079632675     		φ = -0.10931743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01136105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.650940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10931743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.263427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65773 KachelY 67821 0.01136105 -0.10931743 0.650940 -6.263427
    Oben rechts KachelX + 1 65774 KachelY 67821 0.01140898 -0.10931743 0.653686 -6.263427
    Unten links KachelX 65773 KachelY + 1 67822 0.01136105 -0.10936508 0.650940 -6.266158
    Unten rechts KachelX + 1 65774 KachelY + 1 67822 0.01140898 -0.10936508 0.653686 -6.266158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10931743--0.10936508) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dl = 303.578150000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10931743--0.10936508) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dr = 303.578150000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01136105-0.01140898) × cos(-0.10931743) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99403079778272 × 6371000     		do = 303.539262293461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01136105-0.01140898) × cos(-0.10936508) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994025598047304 × 6371000     		du = 303.537674491699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10931743)-sin(-0.10936508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99403079778272-0.994025598047304)×R²
    abs(0.01140898-0.01136105)×5.19973541568408e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.19973541568408e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.19973541568408e-06×40589641000000     		ar = 92147.6467059005m²