Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65771 / 67824
↖ ↑ ↗
← S  6.271618°
E  0.645447°		 ← 303.60 m → S  6.271618°
E  0.648193°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.274348°
E  0.645447°		 ← 303.60 m →
92 165 m²		 S  6.274348°
E  0.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501796722412109 y=0.517459869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501796722412109 × 217)
    floor (0.501796722412109 × 131072)
    floor (65771.5)     		tx = 65771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517459869384766 × 217)
    floor (0.517459869384766 × 131072)
    floor (67824.5)     		ty = 67824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65771 / 67824 ti = "17/65771/67824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65771/67824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65771 ÷ 217
    65771 ÷ 131072     		x = 0.501792907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67824 ÷ 217
    67824 ÷ 131072     		y = 0.5174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501792907714844 × 2 - 1) × π
    0.0035858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01126517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.109679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01126517} λ = 0.01126517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109679626330688))-π/2
    2×atan(0.896121182944347)-π/2
    2×0.730667971074082-π/2
    1.46133594214816-1.57079632675     		φ = -0.10946038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01126517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.645447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10946038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65771 KachelY 67824 0.01126517 -0.10946038 0.645447 -6.271618
    Oben rechts KachelX + 1 65772 KachelY 67824 0.01131311 -0.10946038 0.648193 -6.271618
    Unten links KachelX 65771 KachelY + 1 67825 0.01126517 -0.10950803 0.645447 -6.274348
    Unten rechts KachelX + 1 65772 KachelY + 1 67825 0.01131311 -0.10950803 0.648193 -6.274348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10946038--0.10950803) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dl = 303.578150000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10946038--0.10950803) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dr = 303.578150000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01126517-0.01131311) × cos(-0.10946038) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994015191805612 × 6371000     		do = 303.59782552847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01126517-0.01131311) × cos(-0.10950803) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994009985299359 × 6371000     		du = 303.596235327445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10946038)-sin(-0.10950803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994015191805612-0.994009985299359)×R²
    abs(0.01131311-0.01126517)×5.20650625268626e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.20650625268626e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.20650625268626e-06×40589641000000     		ar = 92165.4248602804m²