Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65771 / 67823
↖ ↑ ↗
← S  6.268888°
E  0.645447°		 ← 303.60 m → S  6.268888°
E  0.648193°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.271618°
E  0.645447°		 ← 303.60 m →
92 166 m²		 S  6.271618°
E  0.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501796722412109 y=0.517452239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501796722412109 × 217)
    floor (0.501796722412109 × 131072)
    floor (65771.5)     		tx = 65771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517452239990234 × 217)
    floor (0.517452239990234 × 131072)
    floor (67823.5)     		ty = 67823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65771 / 67823 ti = "17/65771/67823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65771/67823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65771 ÷ 217
    65771 ÷ 131072     		x = 0.501792907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67823 ÷ 217
    67823 ÷ 131072     		y = 0.517448425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501792907714844 × 2 - 1) × π
    0.0035858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01126517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517448425292969 × 2 - 1) × π
    -0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.109631689431068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01126517} λ = 0.01126517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109631689431068))-π/2
    2×atan(0.896164141245177)-π/2
    2×0.730691796139679-π/2
    1.46138359227936-1.57079632675     		φ = -0.10941273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01126517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.645447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10941273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.268888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65771 KachelY 67823 0.01126517 -0.10941273 0.645447 -6.268888
    Oben rechts KachelX + 1 65772 KachelY 67823 0.01131311 -0.10941273 0.648193 -6.268888
    Unten links KachelX 65771 KachelY + 1 67824 0.01126517 -0.10946038 0.645447 -6.271618
    Unten rechts KachelX + 1 65772 KachelY + 1 67824 0.01131311 -0.10946038 0.648193 -6.271618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10941273--0.10946038) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10941273--0.10946038) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01126517-0.01131311) × cos(-0.10941273) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994020396054931 × 6371000     		do = 303.599415040169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01126517-0.01131311) × cos(-0.10946038) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.994015191805612 × 6371000     		du = 303.59782552847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10941273)-sin(-0.10946038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994020396054931-0.994015191805612)×R²
    abs(0.01131311-0.01126517)×5.20424931882424e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.20424931882424e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.20424931882424e-06×40589641000000     		ar = 92165.9075058927m²