Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65737 / 65609
↖ ↑ ↗
← S  0.200500°
E  0.552063°		 ← 305.36 m → S  0.200500°
E  0.554809°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.203246°
E  0.552063°		 ← 305.36 m →
93 245 m²		 S  0.203246°
E  0.554809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501537322998047 y=0.500560760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501537322998047 × 217)
    floor (0.501537322998047 × 131072)
    floor (65737.5)     		tx = 65737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500560760498047 × 217)
    floor (0.500560760498047 × 131072)
    floor (65609.5)     		ty = 65609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65737 / 65609 ti = "17/65737/65609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65737/65609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65737 ÷ 217
    65737 ÷ 131072     		x = 0.501533508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65609 ÷ 217
    65609 ÷ 131072     		y = 0.500556945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501533508300781 × 2 - 1) × π
    0.0030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00963532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500556945800781 × 2 - 1) × π
    -0.0011138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0034993936722641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00963532} λ = 0.00963532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0034993936722641))-π/2
    2×atan(0.996506722069896)-π/2
    2×0.783648470132365-π/2
    1.56729694026473-1.57079632675     		φ = -0.00349939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00963532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.552063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00349939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.200500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65737 KachelY 65609 0.00963532 -0.00349939 0.552063 -0.200500
    Oben rechts KachelX + 1 65738 KachelY 65609 0.00968325 -0.00349939 0.554809 -0.200500
    Unten links KachelX 65737 KachelY + 1 65610 0.00963532 -0.00354732 0.552063 -0.203246
    Unten rechts KachelX + 1 65738 KachelY + 1 65610 0.00968325 -0.00354732 0.554809 -0.203246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00349939--0.00354732) × R
    4.79300000000003e-05 × 6371000     		dl = 305.362030000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00349939--0.00354732) × R
    4.79300000000003e-05 × 6371000     		dr = 305.362030000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00963532-0.00968325) × cos(-0.00349939) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999993877141062 × 6371000     		do = 305.360160311364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00963532-0.00968325) × cos(-0.00354732) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999993708267007 × 6371000     		du = 305.36010874364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00349939)-sin(-0.00354732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993877141062-0.999993708267007)×R²
    abs(0.00968325-0.00963532)×1.68874055739288e-07×R²
    4.79299999999998e-05×1.68874055739288e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.68874055739288e-07×40589641000000     		ar = 93245.3905782428m²