Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65732 / 48199
↖ ↑ ↗
← N 42.926263°
E  0.538330°		 ← 223.64 m → N 42.926263°
E  0.541077°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
N 42.924252°
E  0.538330°		 ← 223.65 m →
50 012 m²		 N 42.924252°
E  0.541077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501499176025391 y=0.367733001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501499176025391 × 217)
    floor (0.501499176025391 × 131072)
    floor (65732.5)     		tx = 65732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367733001708984 × 217)
    floor (0.367733001708984 × 131072)
    floor (48199.5)     		ty = 48199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65732 / 48199 ti = "17/65732/48199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65732/48199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65732 ÷ 217
    65732 ÷ 131072     		x = 0.501495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48199 ÷ 217
    48199 ÷ 131072     		y = 0.367729187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501495361328125 × 2 - 1) × π
    0.00299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00939563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367729187011719 × 2 - 1) × π
    0.264541625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.831082028712913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00939563} λ = 0.00939563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831082028712913))-π/2
    2×atan(2.29580151996624)-π/2
    2×1.16000047514234-π/2
    2.32000095028469-1.57079632675     		φ = 0.74920462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00939563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74920462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.926263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65732 KachelY 48199 0.00939563 0.74920462 0.538330 42.926263
    Oben rechts KachelX + 1 65733 KachelY 48199 0.00944357 0.74920462 0.541077 42.926263
    Unten links KachelX 65732 KachelY + 1 48200 0.00939563 0.74916952 0.538330 42.924252
    Unten rechts KachelX + 1 65733 KachelY + 1 48200 0.00944357 0.74916952 0.541077 42.924252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74920462-0.74916952) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74920462-0.74916952) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00939563-0.00944357) × cos(0.74920462) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.732230799209691 × 6371000     		do = 223.64213369941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00939563-0.00944357) × cos(0.74916952) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.732254703844368 × 6371000     		du = 223.649434790146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74920462)-sin(0.74916952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732230799209691-0.732254703844368)×R²
    abs(0.00944357-0.00939563)×2.39046346769411e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39046346769411e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39046346769411e-05×40589641000000     		ar = 50012.139933908m²