Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65730 / 43725
↖ ↑ ↗
← N 51.267071°
E  0.532837°		 ← 191.10 m → N 51.267071°
E  0.535584°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 51.265352°
E  0.532837°		 ← 191.11 m →
36 514 m²		 N 51.265352°
E  0.535584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501483917236328 y=0.333599090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501483917236328 × 217)
    floor (0.501483917236328 × 131072)
    floor (65730.5)     		tx = 65730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333599090576172 × 217)
    floor (0.333599090576172 × 131072)
    floor (43725.5)     		ty = 43725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65730 / 43725 ti = "17/65730/43725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65730/43725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65730 ÷ 217
    65730 ÷ 131072     		x = 0.501480102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43725 ÷ 217
    43725 ÷ 131072     		y = 0.333595275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501480102539062 × 2 - 1) × π
    0.002960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00929976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333595275878906 × 2 - 1) × π
    0.332809448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04555171761304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00929976} λ = 0.00929976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04555171761304))-π/2
    2×atan(2.84496770953211)-π/2
    2×1.23278775397954-π/2
    2.46557550795908-1.57079632675     		φ = 0.89477918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00929976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.532837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89477918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.267071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65730 KachelY 43725 0.00929976 0.89477918 0.532837 51.267071
    Oben rechts KachelX + 1 65731 KachelY 43725 0.00934770 0.89477918 0.535584 51.267071
    Unten links KachelX 65730 KachelY + 1 43726 0.00929976 0.89474919 0.532837 51.265352
    Unten rechts KachelX + 1 65731 KachelY + 1 43726 0.00934770 0.89474919 0.535584 51.265352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89477918-0.89474919) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89477918-0.89474919) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00929976-0.00934770) × cos(0.89477918) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.625691086908391 × 6371000     		do = 191.102163230399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00929976-0.00934770) × cos(0.89474919) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		du = 191.1093083742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89477918)-sin(0.89474919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625691086908391-0.625714480954357)×R²
    abs(0.00934770-0.00929976)×2.33940459664073e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.33940459664073e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.33940459664073e-05×40589641000000     		ar = 36513.8639400601m²