Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65728 / 48192
↖ ↑ ↗
← N 42.940339°
E  0.527343°		 ← 223.59 m → N 42.940339°
E  0.530090°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
N 42.938329°
E  0.527343°		 ← 223.60 m →
49 986 m²		 N 42.938329°
E  0.530090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501468658447266 y=0.367679595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501468658447266 × 217)
    floor (0.501468658447266 × 131072)
    floor (65728.5)     		tx = 65728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367679595947266 × 217)
    floor (0.367679595947266 × 131072)
    floor (48192.5)     		ty = 48192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65728 / 48192 ti = "17/65728/48192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65728/48192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65728 ÷ 217
    65728 ÷ 131072     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48192 ÷ 217
    48192 ÷ 131072     		y = 0.36767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831417587010254))-π/2
    2×atan(2.29657202448267)-π/2
    2×1.16012331416384-π/2
    2.32024662832767-1.57079632675     		φ = 0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65728 KachelY 48192 0.00920388 0.74945030 0.527343 42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 65729 KachelY 48192 0.00925182 0.74945030 0.530090 42.940339
    Unten links KachelX 65728 KachelY + 1 48193 0.00920388 0.74941521 0.527343 42.938329
    Unten rechts KachelX + 1 65729 KachelY + 1 48193 0.00925182 0.74941521 0.530090 42.938329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74945030-0.74941521) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74945030-0.74941521) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00925182) × cos(0.74945030) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 223.591022511286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00925182) × cos(0.74941521) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.732087359270339 × 6371000     		du = 223.598323449788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74945030)-sin(0.74941521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.732087359270339)×R²
    abs(0.00925182-0.00920388)×2.39041362466441e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39041362466441e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39041362466441e-05×40589641000000     		ar = 49986.4651092027m²