Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65722 / 48278
↖ ↑ ↗
← N 42.767179°
E  0.510864°		 ← 224.22 m → N 42.767179°
E  0.513611°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
N 42.765162°
E  0.510864°		 ← 224.23 m →
50 270 m²		 N 42.765162°
E  0.513611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501422882080078 y=0.368335723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501422882080078 × 217)
    floor (0.501422882080078 × 131072)
    floor (65722.5)     		tx = 65722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368335723876953 × 217)
    floor (0.368335723876953 × 131072)
    floor (48278.5)     		ty = 48278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65722 / 48278 ti = "17/65722/48278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65722/48278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65722 ÷ 217
    65722 ÷ 131072     		x = 0.501419067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48278 ÷ 217
    48278 ÷ 131072     		y = 0.368331909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501419067382812 × 2 - 1) × π
    0.002838134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00891626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368331909179688 × 2 - 1) × π
    0.263336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827295013642929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00891626} λ = 0.00891626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827295013642929))-π/2
    2×atan(2.28712372685012)-π/2
    2×1.15861220286491-π/2
    2.31722440572982-1.57079632675     		φ = 0.74642808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00891626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.510864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74642808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.767179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65722 KachelY 48278 0.00891626 0.74642808 0.510864 42.767179
    Oben rechts KachelX + 1 65723 KachelY 48278 0.00896420 0.74642808 0.513611 42.767179
    Unten links KachelX 65722 KachelY + 1 48279 0.00891626 0.74639289 0.510864 42.765162
    Unten rechts KachelX + 1 65723 KachelY + 1 48279 0.00896420 0.74639289 0.513611 42.765162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74642808-0.74639289) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dl = 224.19549000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74642808-0.74639289) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dr = 224.19549000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00891626-0.00896420) × cos(0.74642808) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.734118955153762 × 6371000     		do = 224.218825125864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00891626-0.00896420) × cos(0.74639289) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73414284944409 × 6371000     		du = 224.226123057169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74642808)-sin(0.74639289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734118955153762-0.73414284944409)×R²
    abs(0.00896420-0.00891626)×2.38942903283412e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38942903283412e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38942903283412e-05×40589641000000     		ar = 50269.6674532579m²