Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65721 / 48201
↖ ↑ ↗
← N 42.922241°
E  0.508118°		 ← 223.61 m → N 42.922241°
E  0.510864°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
N 42.920229°
E  0.508118°		 ← 223.62 m →
50 005 m²		 N 42.920229°
E  0.510864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501415252685547 y=0.367748260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501415252685547 × 217)
    floor (0.501415252685547 × 131072)
    floor (65721.5)     		tx = 65721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367748260498047 × 217)
    floor (0.367748260498047 × 131072)
    floor (48201.5)     		ty = 48201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65721 / 48201 ti = "17/65721/48201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65721/48201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65721 ÷ 217
    65721 ÷ 131072     		x = 0.501411437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48201 ÷ 217
    48201 ÷ 131072     		y = 0.367744445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501411437988281 × 2 - 1) × π
    0.0028228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00886833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367744445800781 × 2 - 1) × π
    0.264511108398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.830986154913673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00886833} λ = 0.00886833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830986154913673))-π/2
    2×atan(2.29558142330314)-π/2
    2×1.15996537312218-π/2
    2.31993074624435-1.57079632675     		φ = 0.74913442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00886833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.508118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74913442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.922241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65721 KachelY 48201 0.00886833 0.74913442 0.508118 42.922241
    Oben rechts KachelX + 1 65722 KachelY 48201 0.00891626 0.74913442 0.510864 42.922241
    Unten links KachelX 65721 KachelY + 1 48202 0.00886833 0.74909932 0.508118 42.920229
    Unten rechts KachelX + 1 65722 KachelY + 1 48202 0.00891626 0.74909932 0.510864 42.920229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74913442-0.74909932) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74913442-0.74909932) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00886833-0.00891626) × cos(0.74913442) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.7322786075769 × 6371000     		do = 223.610082135255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00886833-0.00891626) × cos(0.74909932) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		du = 223.617381152055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74913442)-sin(0.74909932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7322786075769-0.732302510407257)×R²
    abs(0.00891626-0.00886833)×2.39028303572475e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39028303572475e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39028303572475e-05×40589641000000     		ar = 50004.9722641794m²