Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65713 / 48401
↖ ↑ ↗
← N 42.518675°
E  0.486145°		 ← 225.12 m → N 42.518675°
E  0.488892°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 42.516651°
E  0.486145°		 ← 225.12 m →
50 686 m²		 N 42.516651°
E  0.488892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501354217529297 y=0.369274139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501354217529297 × 217)
    floor (0.501354217529297 × 131072)
    floor (65713.5)     		tx = 65713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369274139404297 × 217)
    floor (0.369274139404297 × 131072)
    floor (48401.5)     		ty = 48401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65713 / 48401 ti = "17/65713/48401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65713/48401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65713 ÷ 217
    65713 ÷ 131072     		x = 0.501350402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48401 ÷ 217
    48401 ÷ 131072     		y = 0.369270324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501350402832031 × 2 - 1) × π
    0.0027008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00848483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369270324707031 × 2 - 1) × π
    0.261459350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.821398774989662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00848483} λ = 0.00848483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821398774989662))-π/2
    2×atan(2.2736779781528)-π/2
    2×1.15644360107644-π/2
    2.31288720215288-1.57079632675     		φ = 0.74209088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00848483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.486145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74209088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.518675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65713 KachelY 48401 0.00848483 0.74209088 0.486145 42.518675
    Oben rechts KachelX + 1 65714 KachelY 48401 0.00853277 0.74209088 0.488892 42.518675
    Unten links KachelX 65713 KachelY + 1 48402 0.00848483 0.74205554 0.486145 42.516651
    Unten rechts KachelX + 1 65714 KachelY + 1 48402 0.00853277 0.74205554 0.488892 42.516651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74209088-0.74205554) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dl = 225.151140000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74209088-0.74205554) × R
    3.53400000000503e-05 × 6371000     		dr = 225.151140000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00848483-0.00853277) × cos(0.74209088) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73705709043804 × 6371000     		do = 225.116207269284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00848483-0.00853277) × cos(0.74205554) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73708097382714 × 6371000     		du = 225.123501871074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74209088)-sin(0.74205554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73705709043804-0.73708097382714)×R²
    abs(0.00853277-0.00848483)×2.38833890995327e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38833890995327e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38833890995327e-05×40589641000000     		ar = 50685.9918983687m²